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Kettenkurve berechnen

Kettenkurve (Katenoide) berechnen — die Höhe y = a·cosh(x/a) einer hängenden Kette an jeder Stelle x, Schritt für Schritt mit Formel, Beispielen und FAQ.

Kurze Antwort
Wie berechnet man die Kettenkurve?
Eine frei hängende Kette folgt der Kurve y = a·cosh(x/a). Der Parameter a legt die Form fest und ist zugleich die Höhe des tiefsten Punktes (bei x = 0 ist y = a). Beispiel a = 2, x = 3: y = 2·cosh(1,5) ≈ 4,70.
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Werte eingeben — Lösung mit Rechenweg

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Schritt für Schritt
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HowTo

Kettenkurve — Anleitung in 3 Schritten

Am Beispiel a = 2, x = 3
  1. 1
    Schritt 1 von 3

    Parameter und Stelle festlegen

    Wähle den Parameter a (> 0) und die Position x, an der du die Höhe wissen willst, z. B. a = 2 und x = 3.

  2. 2
    Schritt 2 von 3

    x durch a teilen

    Bilde das Verhältnis x/a = 3/2 = 1,5 — das Argument des Kosinus hyperbolicus.

  3. 3
    Schritt 3 von 3

    Mit a·cosh ausrechnen

    y = a·cosh(x/a) = 2·cosh(1,5) ≈ 2·2,3524 ≈ 4,70.

Beispiele

Kettenkurve — gelöste Beispiele

Höhe y an verschiedenen Stellen
a=2, x=3
2·cosh(3/2)
2·cosh(1,5)
≈ 4,70
a=2, x=0
2·cosh(0)
2·1
= 2 (tiefster Punkt)
a=1, x=1
1·cosh(1)
≈ 1,54
a=5, x=5
5·cosh(1)
≈ 7,72
a=3, x=6
3·cosh(2)
≈ 11,29
Theorie

Die Kettenlinie und der Kosinus hyperbolicus

Hängt eine biegsame, gleichmäßig schwere Kette nur an ihren beiden Enden, nimmt sie unter ihrem Eigengewicht die Form der Kettenlinie an: y = a·cosh(x/a), wobei cosh der Kosinus hyperbolicus ist, cosh(t) = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2. Der Parameter a steuert, wie flach oder steil die Kurve verläuft, und ist gleich der Höhe des tiefsten Punktes über der Bezugslinie: bei x = 0 ist cosh(0) = 1, also y = a. Mit wachsendem |x| steigt y zunächst langsam, dann immer steiler. Die Kettenlinie sieht einer Parabel ähnlich, ist aber nicht dieselbe Kurve — sie fällt etwas flacher ab. Auf den Kopf gestellt ergibt sie die ideale Form eines selbsttragenden Bogens, weshalb sie in der Architektur (etwa beim Gateway Arch) und im Brückenbau auftaucht. Hyperbelfunktionen wie cosh gehören zur Analysis der Oberstufe.

Fallen

Häufige Fehler

cosh mit cos verwechselt

Die Kettenlinie nutzt den Kosinus hyperbolicus cosh, nicht den gewöhnlichen Kosinus cos. cosh(0) = 1, aber cosh wächst unbeschränkt.

a mit 0 oder negativ

Der Parameter a muss größer als 0 sein, sonst ist x/a nicht sinnvoll definiert.

Faktor a vergessen

Es ist a·cosh(x/a), nicht nur cosh(x/a). Das vordere a skaliert die Höhe mit.

Kettenlinie mit Parabel gleichgesetzt

y = a·cosh(x/a) ist keine Parabel y = c·x²; beide ähneln sich nur in der Nähe des Tiefpunkts.
FAQ

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Glossar — wichtige Begriffe einfach erklärt

Kettenlinie
Kurve einer frei hängenden Kette, y = a·cosh(x/a).
Parameter a
Formfaktor und Höhe des tiefsten Punktes.
cosh
Kosinus hyperbolicus, (eᵗ + e⁻ᵗ)/2.
Tiefster Punkt
Stelle x = 0, dort gilt y = a.
Durchhang
Anstieg über den tiefsten Punkt, y − a.
Bogen
Umgedrehte Kettenlinie als selbsttragende Form.