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Mittlere Änderungsrate berechnen

Mittlere Änderungsrate Schritt für Schritt berechnen — die Steigung der Sekante (f(b)−f(a))/(b−a) zwischen zwei Punkten, mit vollem Rechenweg und Beispielen.

Kurze Antwort

Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate?

Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten: (f(b)−f(a))/(b−a). Du teilst die Änderung der y-Werte durch die Änderung der x-Werte. Beispiel: von (1, 3) nach (4, 15) → (15−3)/(4−1) = 12/3 = 4.

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Werte eingeben — Lösung mit Rechenweg

a (Start-x)

f(a) (Start-y)

b (End-x)

f(b) (End-y)

Komma oder Punkt als Dezimaltrennzeichen, negative Werte erlaubt.

Schritt für Schritt

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Mittlere Änderungsrate — Anleitung in 3 Schritten

Am Beispiel (1, 3) und (4, 15)

1
Schritt 1 von 3
Zwei Punkte notieren
Schreib die x-Werte a, b und die zugehörigen Funktionswerte f(a), f(b) auf, z. B. a=1, f(a)=3, b=4, f(b)=15.
2
Schritt 2 von 3
Differenzen bilden
Δy = f(b)−f(a) = 15−3 = 12 und Δx = b−a = 4−1 = 3.
3
Schritt 3 von 3
Δy durch Δx teilen
Mittlere Änderungsrate = Δy/Δx = 12/3 = 4.

Beispiele

Mittlere Änderungsrate — gelöste Beispiele

Typische Punktepaare mit Rechenweg

(1, 3) → (4, 15)

(15−3)/(4−1)

12/3

(0, 2) → (5, 2)

(2−2)/(5−0)

0/5

(2, 10) → (6, 2)

(2−10)/(6−2)

−8/4

−2

(−1, 4) → (3, 4)

(4−4)/(3−(−1))

0/4

(1, 1) → (4, 16)

(16−1)/(4−1)

15/3

Theorie

Sekantensteigung und Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion über einem Intervall [a, b] beschreibt, wie stark sich der Funktionswert im Schnitt pro x-Einheit ändert. Geometrisch ist sie die Steigung der Sekante — der Geraden durch die beiden Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) auf dem Graphen: m = (f(b)−f(a))/(b−a). Der Zähler ist die Änderung in y-Richtung (Δy), der Nenner die Änderung in x-Richtung (Δx). Ein positives Ergebnis heißt, die Funktion steigt im Mittel, ein negatives, sie fällt; null bedeutet, Anfangs- und Endwert sind gleich. Wichtig: a und b müssen verschieden sein, sonst teilt man durch null. Lässt man b gegen a rücken, geht die mittlere Änderungsrate in die momentane Änderungsrate — die Ableitung — über. Damit ist sie der Einstieg in die Differentialrechnung und gehört zum Stoff der Oberstufe (Klasse 10–11).

Fallen

Häufige Fehler

Zähler und Nenner vertauscht

Es ist Δy/Δx, nicht Δx/Δy. Erst die y-Differenz, geteilt durch die x-Differenz.

Vorzeichen vergessen

Sinkt der Funktionswert, ist die Rate negativ. (2−10)/(6−2) = −2, nicht 2.

Differenz in falscher Reihenfolge

Halte die Reihenfolge konsistent: oben f(b)−f(a), unten b−a — beide vom selben Endpunkt aus.

a = b eingesetzt

Sind die beiden x-Werte gleich, ist Δx = 0 und die Rate nicht definiert (Division durch null).

FAQ

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate von (1,3) nach (4,15)?

(15−3)/(4−1) = 12/3 = 4.

Was bedeutet eine negative mittlere Änderungsrate?

Was ist der Unterschied zur momentanen Änderungsrate?

Was passiert, wenn a und b gleich sind?

Ist die mittlere Änderungsrate dasselbe wie die Steigung?

Kann die Rate null sein?

Glossar

Glossar — wichtige Begriffe einfach erklärt

Mittlere Änderungsrate: Durchschnittliche Änderung pro x-Einheit über ein Intervall.
Sekante: Gerade durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen.
Δy (Delta y): Änderung der y-Werte: f(b)−f(a).
Δx (Delta x): Änderung der x-Werte: b−a.
Steigung: Verhältnis Δy/Δx, das Maß für die Neigung.
Ableitung: Grenzfall der mittleren Rate, wenn b gegen a geht.