Übung · Klasse 7 Prozentrechnung
Verdopplungszeit üben — Aufgaben
Übungsaufgaben in steigender Schwierigkeit plus eine Bossfrage. Pro Aufgabe ein Tipp und der volle Rechenweg. Exakt und mit der Regel von 70.
Aufgabe 1 / 6
0 richtig
Bestimme die exakte Verdopplungszeit bei 10 % Wachstum pro Periode. Runde auf 2 Stellen.
ln(2) ÷ ln(1,10)
Kurze Antwort
Wie übe ich die Verdopplungszeit am besten?
Rechne mehrere Aufgaben mit der exakten Formel t = ln(2) ÷ ln(1 + r) und überschlage jede zusätzlich mit der Regel von 70 (70 ÷ Prozentrate) als schnelle Probe. Achte darauf, r in der exakten Formel als Dezimalzahl einzusetzen (7 % = 0,07), in der Regel von 70 dagegen die Prozentzahl direkt zu nutzen. Steigere die Wachstumsrate Aufgabe für Aufgabe und beobachte: höhere Rate bedeutet kürzere Verdopplungszeit, und für große Raten weicht die Faustregel zunehmend ab.
HowTo
Lösungsstrategie in 4 Schritten
Diese Reihenfolge funktioniert für jede konstante Wachstumsrate r in Prozent — egal ob du den exakten Wert brauchst oder nur überschlagen willst.
- 1Schritt 1 von 4
Wachstumsrate erfassen und Dezimalzahl bilden
Lies die Rate r in Prozent aus der Aufgabe und rechne sie für die exakte Formel in eine Dezimalzahl um: 7 % = 0,07, 3 % = 0,03. Für die Regel von 70 behältst du die Prozentzahl (7, 3) bei.
- 2Schritt 2 von 4
In die exakte Formel einsetzen
Verwende t = ln(2) ÷ ln(1 + r). Setze deine Dezimalzahl ein, etwa t = ln(2) ÷ ln(1,03). ln(2) ist immer konstant ≈ 0,6931.
- 3Schritt 3 von 4
Nenner ausrechnen und teilen
Bestimme ln(1 + r) im Nenner und teile: t = 0,6931 ÷ ln(1 + r). Runde das Ergebnis sinnvoll auf zwei Nachkommastellen.
- 4Schritt 4 von 4
Mit der Regel von 70 prüfen
Überschlage 70 ÷ Prozentrate als Kontrolle. Bei kleinen Raten passt das gut; weicht es stark ab, ist die Rate groß — dann zählt der exakte Wert.
Beispiele
Übungsbeispiele mit ausführlichem Rechenweg
Vier typische Aufgaben zur Verdopplungszeit. Versuche jede zuerst selbst, dann vergleiche mit dem Lösungsweg.
Leicht
Verdopplungszeit bei 7 % Wachstum (exakt)
t = ln(2) ÷ ln(1 + r), r = 0,07
t = 0,6931 ÷ ln(1,07)
t = 0,6931 ÷ 0,0677
t ≈ 10,24
Probe mit Regel von 70: 70 ÷ 7 = 10 ≈ 10,24 ✓
Standardfall. Erst r dezimal machen, ln(2) als 0,6931 setzen, dann durch ln(1,07) teilen.
Leicht
Verdopplungszeit bei 10 % Wachstum (exakt)
t = ln(2) ÷ ln(1,10)
t = 0,6931 ÷ 0,0953
t ≈ 7,27
Probe mit Regel von 70: 70 ÷ 10 = 7 ≈ 7,27 ✓
Höhere Rate als oben — entsprechend kürzere Verdopplungszeit. Die Faustregel liegt nah dran.
Mittel
Verdopplungszeit bei 2 % Wachstum (exakt)
t = ln(2) ÷ ln(1,02)
t = 0,6931 ÷ 0,0198
t ≈ 35,00
Probe mit Regel von 70: 70 ÷ 2 = 35 ≈ 35,00 ✓
Bei kleinen Raten ist die Regel von 70 fast perfekt: ln(1 + r) ≈ r.
Schwer
Boss: Verdopplungszeit bei 8 % Wachstum (exakt)
t = ln(2) ÷ ln(1,08)
t = 0,6931 ÷ 0,0770
t ≈ 9,01
Regel von 70: 70 ÷ 8 = 8,75 — schon spürbar daneben; exakt ist 9,01.
Je größer die Rate, desto stärker weicht die Faustregel ab. Hier zählt die exakte Formel.
Fallen
Typische Fehler — und wie du sie vermeidest
Diese fünf Stolperfallen tauchen beim Üben der Verdopplungszeit immer wieder auf.
Rate nicht in Dezimal umgerechnet
In ln(1 + r) muss r als Dezimalzahl stehen: 7 % = 0,07, also ln(1,07). Wer ln(1 + 7) = ln(8) rechnet, bekommt völligen Unsinn.
Regel von 70 und exakte Formel verwechselt
In der Regel von 70 nutzt du die Prozentzahl direkt (70 ÷ 7), in der exakten Formel die Dezimalzahl (ln(1,07)). Nicht vermischen.
Faustregel bei großen Raten überstrapaziert
Die Regel von 70 ist nur für kleine Raten genau. Bei 8 % weicht sie schon merklich ab (8,75 statt 9,01), bei 70 % völlig.
Lineares mit exponentiellem Wachstum verwechselt
Die Formel gilt nur bei konstanter prozentualer Wachstumsrate. Wird pro Periode ein fester Betrag addiert, gibt es keine feste Verdopplungszeit.
ln(2) und log(2) verwechselt
Gemeint ist der natürliche Logarithmus ln(2) ≈ 0,6931. Mit dem Zehnerlogarithmus log(2) ≈ 0,3010 stimmt das Ergebnis nur, wenn auch im Nenner log steht.
Lernen
Üben mit Plan — drei kurze Tipps
Immer beide Wege rechnen
Mach für jede Aufgabe die exakte Rechnung und die Regel-von-70-Überschlagung. Der Vergleich zeigt dir sofort, ob dein exakter Wert plausibel ist.
Rate systematisch steigern
Übe mit 1 %, 2 %, 5 %, 10 % nacheinander. So bekommst du ein Gefühl dafür, wie schnell die Verdopplungszeit mit wachsender Rate fällt.
Bei jeder falschen Antwort: warum?
War es die Dezimalumrechnung? Der Logarithmus? Notiere die Ursache — beim nächsten Üben erkennst du den Fehler sofort wieder.
FAQ
Häufige Fragen zum Üben
Glossar
Begriffe in einem Satz
- Verdopplungszeit
- Die Zeit, bis sich eine Größe bei konstanter Wachstumsrate verdoppelt: t = ln(2) ÷ ln(1 + r).
- Wachstumsrate
- Der prozentuale Zuwachs pro Periode, z. B. 7 % pro Jahr.
- Regel von 70
- Faustregel zum Überschlagen: Verdopplungszeit ≈ 70 ÷ Prozentrate.
- Regel von 72
- Variante der Faustregel mit 72 statt 70 — leichter teilbar.
- Exponentielles Wachstum
- Wachstum mit konstanter prozentualer Rate; pro Periode wird mit (1 + r) multipliziert.
- ln (natürlicher Logarithmus)
- Logarithmus zur Basis e; ln(2) ≈ 0,6931.
- Halbwertszeit
- Das Gegenstück bei Abnahme — die Zeit bis zur Halbierung.