Verdopplungszeit berechnen — Schritt für Schritt erklärt
Bei exponentiellem Wachstum mit konstanter Rate r dauert es immer gleich lang, bis sich eine Größe verdoppelt. Diese Verdopplungszeit findest du exakt mit ln(2) ÷ ln(1 + r) oder im Kopf mit der Regel von 70. Rechenbeispiel: bei 7 % Wachstum ≈ 10,24 Perioden. Das Thema gehört zur Prozentrechnung, Klasse 7.
Kurze Antwort
Die Verdopplungszeit ist die Zeit, bis sich eine Größe bei konstanter Wachstumsrate verdoppelt. Exakt: ln(2) ÷ ln(1 + r). Bei 7 % Wachstum ergibt das ≈ 10,24 Perioden. Schnell überschlagen mit der Regel von 70: 70 ÷ 7 = 10.
Auf einen Blick
| Beispiel | ln(2) ÷ ln(1,07) |
|---|---|
| Methode | Exakt: ln(2) ÷ ln(1 + r) |
| Schritte | ln(2) ÷ ln(1,07) |
| Ergebnis | ≈ 10,24 Perioden |
| Probe | Regel von 70: 70 ÷ 7 = 10 |
| Klassenstufe | Klasse 7 (12–13 Jahre) |
Beispiel: ln(2) ÷ ln(1,07)
Eine Größe wächst um 7 % pro Periode. Wir bestimmen, nach wie vielen Perioden sie sich verdoppelt hat.
Verdopplungszeit berechnen — die Schritte
Diese Schritte funktionieren für jede konstante Wachstumsrate r in Prozent.
Schritt 1 · Start
ln(2) ÷ ln(1 + 7 %)Exakte Formel mit r = 7 % = 0,07.Schritt 2 · ln(2)
0,6931 ÷ ln(1,07)ln(2) ist konstant ≈ 0,6931.Schritt 3 · ln(1,07)
0,6931 ÷ 0,0677Den Nenner ausrechnen: ln(1,07) ≈ 0,0677.Schritt 4 · Ergebnis
≈ 10,24Nach rund 10,24 Perioden hat sich die Größe verdoppelt.Schritt 5 · Probe
70 ÷ 7 ≈ 10Regel von 70 zur Kontrolle — nah am exakten Wert.
Warum die Formel funktioniert
Verdopplung bedeutet (1 + r) hoch t = 2. Logarithmiert man beide Seiten, wird daraus t · ln(1 + r) = ln(2), also t = ln(2) ÷ ln(1 + r). Für kleine r ist ln(1 + r) ungefähr r, und ln(2) ≈ 0,693 ≈ 0,70 — daraus folgt die Faustregel Verdopplungszeit ≈ 70 ÷ Prozentrate. Die 72 nimmt man oft, weil sie sich leichter teilen lässt.