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Möndchen des Hippokrates berechnen

Flächeninhalt der Möndchen des Hippokrates berechnen — die beiden Möndchen über den Katheten sind zusammen so groß wie das rechtwinklige Dreieck: a·b/2.

Kurze Antwort

Wie groß ist die Fläche der Möndchen des Hippokrates?

Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b sind die beiden Möndchen über den Katheten zusammen genau so groß wie das Dreieck selbst: A = a·b/2. Beispiel a = 3, b = 4 → A = 6.

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Möndchen-Fläche — Anleitung in 3 Schritten

Am Beispiel a = 3, b = 4

1
Schritt 1 von 3
Katheten notieren
Schreib die beiden Katheten a und b des rechtwinkligen Dreiecks auf, z. B. a = 3 und b = 4.
2
Schritt 2 von 3
Dreiecksfläche bilden
A△ = a·b/2 = 3·4/2 = 6. Über die Hypotenuse c = √(a²+b²) = 5 sind die Halbkreise definiert.
3
Schritt 3 von 3
Satz des Hippokrates anwenden
Die beiden Möndchen sind zusammen so groß wie das Dreieck: A = a·b/2 = 6.

Beispiele

Möndchen des Hippokrates — gelöste Beispiele

Katheten und Möndchen-Fläche

a=3, b=4

c=√(9+16)=5

3·4/2

a=1, b=1

c=√2

1·1/2

0,5

a=5, b=12

c=13

5·12/2

a=6, b=8

c=10

6·8/2

a=2, b=5

c=√29

2·5/2

Theorie

Der Satz des Hippokrates

Die Möndchen des Hippokrates gehören zu den schönsten Ergebnissen der antiken Geometrie. Man nimmt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c = √(a²+b²) und zeichnet über jeder Seite einen Halbkreis nach außen. Über der Hypotenuse entsteht ein großer Halbkreis, über jeder Kathete ein kleinerer. Die mondsichelförmigen Flächen zwischen den kleinen Halbkreisen und dem großen heißen Möndchen (lat. lunulae). Hippokrates von Chios zeigte um 440 v. Chr.: Die beiden Möndchen über den Katheten haben zusammen genau den Flächeninhalt des Dreiecks, also a·b/2. Der Beweis nutzt, dass die Halbkreisflächen proportional zum Quadrat des Durchmessers sind, sodass sich beim Subtrahieren über den Satz des Pythagoras alle Kreisteile (und damit π) herauskürzen. Bemerkenswert ist, dass eine von Kreisbögen berandete Fläche exakt durch eine geradlinig berandete „quadriert" wird — lange galt das als Hoffnung, auch den Kreis quadrieren zu können, was sich später als unmöglich erwies.

Fallen

Häufige Fehler

Halbkreisflächen einzeln addiert

Man muss die Möndchen nicht über die Kreisflächen ausrechnen — der Satz liefert direkt a·b/2. Die Kreisteile kürzen sich weg.

Hypotenuse als Kathete benutzt

a und b sind die beiden kurzen Seiten am rechten Winkel; c = √(a²+b²) ist die Hypotenuse, kein Eingabewert.

Nur ein Möndchen gezählt

Der Satz gilt für die Summe beider Möndchen über den Katheten, nicht für eines allein.

Dreieck nicht rechtwinklig

Der Satz des Hippokrates setzt einen rechten Winkel zwischen a und b voraus.

FAQ

Häufig gestellte Fragen

Wie groß ist die Fläche der Möndchen bei a = 3 und b = 4?

Sie ist gleich der Dreiecksfläche: a·b/2 = 3·4/2 = 6.

Warum sind die Möndchen so groß wie das Dreieck?

Was sind die Möndchen des Hippokrates?

Brauche ich π für die Rechnung?

Muss das Dreieck rechtwinklig sein?

Wie berechne ich die Hypotenuse?

Glossar

Glossar — wichtige Begriffe einfach erklärt

Möndchen: Mondsichelförmige Fläche zwischen zwei Kreisbögen.
Kathete: Eine der beiden Seiten am rechten Winkel.
Hypotenuse: Die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel, c = √(a²+b²).
Satz des Hippokrates: Die Möndchen sind zusammen so groß wie das Dreieck.
Halbkreis: Halbe Kreisfläche über einer Dreiecksseite.
Quadratur: Eine krumm berandete Fläche durch eine geradlinige darstellen.