Zum Inhalt springen
π
LearnMath
TutorialsRechnerÜben
EN
Rechner

Collatz-Vermutung — Rechner

Collatz-Vermutung online berechnen — kostenlos und Schritt für Schritt. Die Schrittfolge (3n+1) bis zur 1, die Stoppzeit und den Höchstwert anzeigen.

Kurze Antwort
Was ist die Collatz-Vermutung?
Nimm eine ganze Zahl n. Ist sie gerade, halbiere sie (n/2); ist sie ungerade, rechne 3n + 1. Wiederhole das. Die Collatz-Vermutung besagt, dass man so immer bei 1 landet. Die Anzahl der Schritte heißt Stoppzeit. Beispiel: 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1, also 8 Schritte. Die Startzahl 27 braucht 111 Schritte und steigt zwischendurch bis 9232.
Rechner

Werte eingeben — Lösung mit Rechenweg

Komma oder Punkt als Dezimaltrennzeichen, negative Werte erlaubt.
Schritt für Schritt
Drücke Berechnen, um alle Schritte zu sehen.
HowTo

Collatz-Folge berechnen — Anleitung

Am Beispiel der Startzahl 6
  1. 1
    Schritt 1 von 4

    Startzahl wählen

    Beginne mit einer beliebigen positiven ganzen Zahl, z. B. 6.

  2. 2
    Schritt 2 von 4

    Gerade oder ungerade prüfen

    Ist die Zahl gerade, teile durch 2: 6 → 3. Ist sie ungerade, rechne 3n + 1: 3 → 10.

  3. 3
    Schritt 3 von 4

    Schritte wiederholen

    Wende die Regel immer wieder an: 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

  4. 4
    Schritt 4 von 4

    Schritte zählen

    Bei 1 ist Schluss. Die Anzahl der Schritte ist die Stoppzeit — für 6 sind es 8 Schritte.

Beispiele

Collatz-Vermutung — gelöste Beispiele

Stoppzeit und Höchstwert für verschiedene Startzahlen
n = 6
6→3→10→5→16→8→4→2→1
8 Schritte
n = 7
7→22→11→34→…→1
16 Schritte
n = 11
11→34→17→52→…→1
14 Schritte
n = 16
16→8→4→2→1
4 Schritte
n = 27
27→82→41→…→1 (Höchstwert 9232)
111 Schritte
n = 1
bereits 1
0 Schritte
Theorie

Die Collatz-Vermutung — das (3n+1)-Problem

Die Collatz-Vermutung, auch (3n+1)-Problem oder Ulam-Vermutung genannt, ist eines der berühmtesten ungelösten Probleme der Mathematik. Die Regel ist denkbar einfach: Starte mit einer positiven ganzen Zahl. Ist sie gerade, teile durch 2; ist sie ungerade, multipliziere mit 3 und addiere 1. Wiederhole. Die Vermutung, 1937 von Lothar Collatz formuliert, behauptet, dass diese Folge für jede Startzahl irgendwann bei 1 ankommt (und dann in den Zyklus 4 → 2 → 1 mündet). Trotz ihrer einfachen Formulierung ist sie bis heute unbewiesen — sie wurde aber per Computer für alle Startzahlen bis weit über 2⁶⁸ bestätigt. Interessant sind zwei Kennzahlen: die Stoppzeit (Anzahl der Schritte bis zur 1) und der Höchstwert (der größte Wert, den die Folge unterwegs erreicht). Beide schwanken chaotisch: 26 braucht nur 10 Schritte, das benachbarte 27 dagegen 111 und steigt bis 9232. Die Folge zeigt, wie aus einer trivialen Rechenregel hochkomplexes Verhalten entsteht — ein Lieblingsbeispiel für Chaos in der Zahlentheorie.

Fallen

Häufige Missverständnisse

Regel vertauscht

Gerade → halbieren, ungerade → 3n + 1. Wer es umdreht, erhält eine ganz andere (oft nicht endende) Folge.

Stoppzeit und Höchstwert verwechselt

Die Stoppzeit ist die Anzahl der Schritte; der Höchstwert ist der größte erreichte Wert. Für 27: 111 Schritte, aber Höchstwert 9232.

Monotones Fallen erwartet

Die Folge fällt nicht stetig — sie kann stark ansteigen, bevor sie schließlich die 1 erreicht.

Mit 0 oder negativen Zahlen gestartet

Die Vermutung gilt für positive ganze Zahlen. 0 und negative Zahlen sind nicht definiert.
FAQ

Häufig gestellte Fragen zur Collatz-Vermutung

Glossar

Glossar — wichtige Begriffe einfach erklärt

Collatz-Vermutung
Vermutung, dass die (3n+1)-Folge stets bei 1 endet.
Stoppzeit
Anzahl der Schritte bis zur 1.
Höchstwert
Der größte Wert, den die Folge unterwegs erreicht.
(3n+1)-Regel
Ungerade Zahl → mit 3 multiplizieren und 1 addieren.
Iteration
Wiederholtes Anwenden derselben Regel.
Zyklus 4→2→1
Die Endschleife, in die jede Folge mündet.