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Arithmetische Folge — Rechner

Arithmetische Folge online berechnen — kostenlos und Schritt für Schritt. n-tes Glied aₙ = a₁ + (n−1)·d und Summe Sₙ mit vollem Rechenweg.

Kurze Antwort
Wie berechnet man eine arithmetische Folge?
Das n-te Glied ist aₙ = a₁ + (n−1)·d, mit dem ersten Glied a₁ und der konstanten Differenz d. Beispiel: a₁ = 3, d = 5, n = 10 → 3 + 9·5 = 48. Die Summe der ersten n Glieder ist Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d) — für dasselbe Beispiel 10/2 · (6 + 45) = 255.
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Werte eingeben — Lösung mit Rechenweg

Welchen Wert hat das n-te Glied?
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Arithmetische Folge berechnen — Anleitung

Am Beispiel a₁ = 3, d = 5 — n-tes Glied und Summe
  1. 1
    Schritt 1 von 4

    Erstes Glied und Differenz bestimmen

    Lies a₁ (das erste Glied) und d (die konstante Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern) ab. Hier a₁ = 3 und d = 5, also 3, 8, 13, 18, …

  2. 2
    Schritt 2 von 4

    Formel für das n-te Glied anwenden

    aₙ = a₁ + (n−1)·d. Für das 10. Glied: 3 + (10−1)·5 = 3 + 45 = 48.

  3. 3
    Schritt 3 von 4

    Für die Summe die Summenformel nutzen

    Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d). Für n = 10: 10/2 · (2·3 + 9·5) = 5 · 51 = 255.

  4. 4
    Schritt 4 von 4

    Ergebnis prüfen

    Plausibilitätscheck über das letzte Glied: a₁₀ = 48, Mittel aus a₁ und a₁₀ ist (3+48)/2 = 25,5, mal 10 Glieder = 255 — passt.

Beispiele

Arithmetische Folge — gelöste Beispiele

n-tes Glied und Summe mit vollem Rechenweg
a₁=3, d=5, n=10 → aₙ
3 + (10−1)·5
3 + 45
48
a₁=3, d=5, n=10 → Sₙ
10/2 · (6 + 45)
5 · 51
255
a₁=2, d=3, n=20 → aₙ
2 + 19·3
2 + 57
59
1+2+…+100 (a₁=1, d=1)
100/2 · (2 + 99)
50 · 101
5050
a₁=10, d=−2, n=6 → aₙ
10 + 5·(−2)
10 − 10
0
a₁=5, d=5, n=8 → Sₙ
8/2 · (10 + 35)
4 · 45
180
Theorie

Was ist eine arithmetische Folge?

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich ist. Diese konstante Differenz heißt d. Ist das erste Glied a₁ bekannt, ergibt sich jedes weitere durch Addition von d: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, allgemein aₙ = a₁ + (n−1)·d. Bei positivem d wächst die Folge, bei negativem d fällt sie. Die Summe der ersten n Glieder, Sₙ, lässt sich mit der berühmten Gaußschen Idee schnell bestimmen: Paart man das erste mit dem letzten Glied, das zweite mit dem vorletzten und so weiter, hat jedes Paar dieselbe Summe a₁ + aₙ. Daraus folgt Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) = n/2 · (2a₁ + (n−1)d). Arithmetische Folgen modellieren gleichmäßiges Wachstum: Ratenzahlungen, Sitzreihen, Stapel, gleichförmige Bewegung. Sie sind das Gegenstück zur geometrischen Folge, bei der nicht addiert, sondern mit einem konstanten Faktor multipliziert wird.

Fallen

Häufige Fehler

(n−1) mit n verwechselt

Beim n-ten Glied wird (n−1)·d addiert, nicht n·d. Das erste Glied (n=1) bekommt null Schritte: a₁ = a₁ + 0·d.

Differenz falsch herum gerechnet

d = a₂ − a₁, also nachfolgendes minus vorheriges. Bei fallenden Folgen ist d negativ.

Summenformel ohne das n/2

Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d). Der Faktor n/2 (halbe Gliederzahl) wird oft vergessen.

Arithmetisch und geometrisch verwechselt

Bei arithmetischen Folgen addiert man d; bei geometrischen multipliziert man mit einem Quotienten q.
FAQ

Häufig gestellte Fragen zur arithmetischen Folge

Glossar

Glossar — wichtige Begriffe einfach erklärt

Arithmetische Folge
Zahlenfolge mit konstanter Differenz zwischen den Gliedern.
Glied
Ein einzelner Wert der Folge, das n-te heißt aₙ.
Erstes Glied a₁
Der Startwert der Folge.
Differenz d
Der konstante Schritt: d = a₂ − a₁.
Partialsumme Sₙ
Die Summe der ersten n Glieder.
Gaußsche Summe
Die Paarungsidee hinter der Summenformel n/2 · (a₁ + aₙ).