Übung · Klasse 9 Wurzelrechnung
Wurzeln dividieren — Aufgaben
Trainingsaufgaben zum Wurzeldividieren mit Quotientenregel, Vereinfachen und Rationalisieren — steigende Schwierigkeit, mit Tipp und Lösungsweg. Kostenlos.
Aufgabe 1 / 6
0 richtig
Berechne mit der Quotientenregel: √50 ÷ √2.
√50 ÷ √2
Kurze Antwort
Wie übe ich das Dividieren von Wurzeln am besten?
Wende bei jeder Aufgabe zuerst die Quotientenregel an: √a ÷ √b = √(a ÷ b). Prüfe dann, ob der Quotient eine Quadratzahl ist (dann ganzzahliges Ergebnis), ob du perfekte Quadrate herausziehen kannst (√18 = 3√2), oder ob eine Wurzel im Nenner steht. Bleibt eine Wurzel im Nenner, rationalisiere mit der Nennerwurzel: √a/√b = √(a · b)/b, und kürze den Bruch am Ende.
HowTo
Lösungsstrategie in 4 Schritten
Diese Reihenfolge passt für jede Aufgabe der Form √a ÷ √b mit a ≥ 0 und b > 0.
- 1Schritt 1 von 4
Quotientenregel anwenden
Fasse die beiden Wurzeln zu einer zusammen: √a ÷ √b = √(a ÷ b). Aus √50 ÷ √2 wird √(50 ÷ 2). Wichtig: Die Radikanden werden geteilt, nicht subtrahiert.
- 2Schritt 2 von 4
Quotient unter der Wurzel ausrechnen
Teile die Zahlen unter der Wurzel, z. B. 50 ÷ 2 = 25. Ist das Ergebnis eine Quadratzahl (4, 9, 16, 25 …), ziehst du die Wurzel exakt: √25 = 5.
- 3Schritt 3 von 4
Vereinfachen — perfekte Quadrate herausziehen
Keine glatte Wurzel? Suche quadratische Faktoren: √80 = √(16 · 5) = 4√5. Eine Wurzel wie √3 ist schon einfachst, weil 3 keine Quadratzahl enthält.
- 4Schritt 4 von 4
Nenner rationalisieren und kürzen
Bleibt eine Wurzel im Nenner, erweitere mit ihr: √2/√3 = √6/3. Kürze danach Zähler und Nenner, falls sie einen gemeinsamen Faktor haben: 4√5/8 = √5/2.
Beispiele
Übungsbeispiele mit ausführlichem Rechenweg
Vier typische Aufgabentypen aus Klassenarbeiten der Klasse 9. Versuche jede zuerst selbst, dann vergleiche.
Leicht
Glatte Wurzel: √72 ÷ √2
√72 ÷ √2 = √(72 ÷ 2)
= √36
= 6
Probe: 6 · √2 = √36 · √2 = √72 ✓
Quotient 36 ist eine Quadratzahl, also exakt ganzzahlig.
Mittel
Wurzel vereinfacht: √6 ÷ √2
√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2)
= √3
≈ 1,7321
3 hat keinen quadratischen Faktor → √3 ist einfachst
Nicht jede Wurzel geht glatt auf. √3 bleibt als irrationaler Wert stehen.
Mittel
Rationalisieren: √2 ÷ √3
(√2 · √3) ÷ (√3 · √3)
= √6 ÷ 3
≈ 0,8165
Nenner wurzelfrei: 3 statt √3 ✓
Mit der Nennerwurzel erweitern macht den Nenner rational.
Schwer
Boss: √10 ÷ √8 vollständig vereinfachen
(√10 · √8) ÷ 8 = √80 ÷ 8
√80 = 4√5, also 4√5 ÷ 8
= √5 ÷ 2 ≈ 1,1180
Probe: (√5/2)² = 5/4 = √80/64 · ... ≈ 1,25 = 10/8 ✓
Drei Schritte zusammen: rationalisieren, Quadrat herausziehen, kürzen.
Fallen
Typische Fehler — und wie du sie vermeidest
Diese fünf Stolperfallen tauchen beim Wurzeldividieren immer wieder auf.
Radikanden subtrahiert statt geteilt
√12 ÷ √3 ist √(12 ÷ 3) = √4 = 2, nicht √(12 − 3) = √9. Die Quotientenregel teilt die Zahlen unter den Wurzeln.
Wurzel im Nenner stehen gelassen
1/√3 oder √2/√3 gelten als nicht fertig. Erweitere mit der Nennerwurzel: √2/√3 = √6/3. Ein rationaler Nenner ist die Standardform.
Perfekte Quadrate übersehen
√80 ist nicht fertig — es ist 4√5. Prüfe immer, ob im Radikanden ein Quadrat (4, 9, 16, 25 …) als Faktor steckt.
Nach dem Rationalisieren nicht gekürzt
4√5/8 ist noch nicht einfachst. Zähler 4 und Nenner 8 haben den Faktor 4: 4√5/8 = √5/2. Am Ende immer kürzen.
Negativen oder Null-Radikanden zugelassen
Für reelle Wurzeln muss a ≥ 0 sein, und der Nenner b sogar > 0 — durch √0 darf man nicht teilen.
Lernen
Üben mit Plan — drei kurze Tipps
Quadratzahlen auswendig können
Wer 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 sofort erkennt, sieht in Sekunden, ob eine Wurzel glatt aufgeht oder ob ein Quadrat herauszuziehen ist.
Erst rechnen, dann Lösung anschauen
Schreibe deinen Rechenweg auf, bevor du den Tipp aufdeckst. Aktives Erinnern ist beim Lernen drei- bis viermal effektiver als passives Lesen.
Bei jeder falschen Antwort: warum?
War es ein vergessenes perfektes Quadrat, ein nicht gekürzter Bruch oder die Wurzel im Nenner? Notiere die Ursache — so erkennst du den Fehler beim nächsten Mal sofort.
FAQ
Häufige Fragen zum Üben
Glossar
Begriffe in einem Satz
- Wurzel (Radikal)
- Die Quadratwurzel √a ist die nicht-negative Zahl, deren Quadrat a ergibt.
- Radikand
- Die Zahl unter dem Wurzelzeichen, z. B. die 12 in √12.
- Quotientenregel
- √a ÷ √b = √(a ÷ b), gültig für a ≥ 0 und b > 0.
- Rationalisieren
- Den Nenner wurzelfrei machen, indem man mit der Nennerwurzel erweitert.
- Perfektes Quadrat
- Eine Quadratzahl wie 4, 9, 16, 25, deren Wurzel eine ganze Zahl ist.
- Irrationale Zahl
- Eine Zahl wie √3, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt.
- Bossfrage
- Die letzte und schwierigste Aufgabe eines Übungssets, die mehrere Techniken kombiniert.