Übung · Klasse 9 Algebra
Quadratische Gleichungen — Aufgaben mit Lösung
Trainingsaufgaben zur Mitternachtsformel in steigender Schwierigkeit plus Bossfrage. Mit Diskriminante, Tipp und Lösungsweg pro Aufgabe. Klasse 9, kostenlos.
Aufgabe 1 / 6
0 richtig
Löse die quadratische Gleichung.
x² − 5x + 6 = 0
Kurze Antwort
Wie übe ich quadratische Gleichungen am besten?
Rechne mindestens fünf Aufgaben in steigender Schwierigkeit. Beginne mit der Normalform ax² + bx + c = 0 und der Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Berechne immer zuerst die Diskriminante D = b² − 4ac, denn sie sagt dir, ob zwei, eine oder keine Lösung herauskommt. Mache anschließend die Probe mit dem Satz von Vieta (x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a) und decke einen Tipp lieber einmal mehr auf — Verstehen schlägt Raten.
HowTo
Lösungsstrategie in 4 Schritten
Diese Reihenfolge funktioniert für jede quadratische Gleichung — ob a = 1 oder a ≠ 1.
- 1Schritt 1 von 4
In die Normalform bringen und a, b, c ablesen
Bringe alles auf eine Seite, sodass ax² + bx + c = 0 dasteht. Lies dann a, b, c mit Vorzeichen ab. Bei x² − 5x + 6 = 0 sind das a = 1, b = −5, c = 6.
- 2Schritt 2 von 4
Diskriminante berechnen
Setze in D = b² − 4ac ein. Das Vorzeichen entscheidet: D > 0 ergibt zwei Lösungen, D = 0 eine doppelte, D < 0 keine reelle Lösung. Klammern setzen: (−5)² = 25.
- 3Schritt 3 von 4
In die Mitternachtsformel einsetzen
x = (−b ± √D) / (2a). Achte auf den Nenner 2a — bei a = 2 teilst du durch 4, nicht durch 2. Das ± liefert die zwei Lösungen.
- 4Schritt 4 von 4
Beide Lösungen ausrechnen und Probe machen
Rechne den + und den − Fall getrennt aus. Prüfe mit Vieta: x₁ + x₂ muss −b/a ergeben und x₁ · x₂ muss c/a ergeben. Erst dann ist die Aufgabe sicher gelöst.
Beispiele
Übungsbeispiele mit ausführlichem Rechenweg
Vier typische Aufgabentypen aus Klassenarbeiten der Klasse 9. Versuche jede zuerst selbst, dann vergleiche mit dem Lösungsweg.
Leicht
Löse: x² − 2x − 15 = 0
a = 1, b = −2, c = −15
D = (−2)² − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64
x = (2 ± √64)/2 = (2 ± 8)/2
x₁ = 5, x₂ = −3
Probe (Vieta): 5 + (−3) = 2 = −b/a; 5 · (−3) = −15 = c/a ✓
Standardform mit a = 1. Das negative c macht D groß — beide Lösungen sind reell und verschieden.
Mittel
Löse: x² − 10x + 25 = 0
a = 1, b = −10, c = 25
D = (−10)² − 4 · 1 · 25 = 100 − 100 = 0
x = −b/(2a) = 10/2
x = 5 (doppelt)
Probe: 5² − 10 · 5 + 25 = 25 − 50 + 25 = 0 ✓
D = 0 bedeutet eine doppelte Lösung — die Parabel berührt die x-Achse. Das ist das Quadrat (x − 5)².
Mittel
Löse: 3x² − 12x = 0
a = 3, b = −12, c = 0
D = (−12)² − 4 · 3 · 0 = 144
x = (12 ± 12)/6
x₁ = 4, x₂ = 0
Probe: 3 · 4² − 12 · 4 = 48 − 48 = 0; 3 · 0² − 12 · 0 = 0 ✓
Fehlt c, ist eine Lösung immer 0. Schneller: 3x(x − 4) = 0 → x = 0 oder x = 4.
Schwer
Boss: 2x² + 5x − 3 = 0
a = 2, b = 5, c = −3
D = 5² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49
x = (−5 ± √49)/4 = (−5 ± 7)/4
x₁ = 0,5, x₂ = −3
Probe (Vieta): 0,5 + (−3) = −2,5 = −b/a; 0,5 · (−3) = −1,5 = c/a ✓
a ≠ 1 und negatives c — hier zahlt sich sauberes Vorzeichenrechnen aus. Der Nenner ist 2a = 4.
Fallen
Typische Fehler — und wie du sie vermeidest
Diese fünf Stolperfallen tauchen in fast jeder Klassenarbeit zu quadratischen Gleichungen auf.
Vorzeichen von b in der Formel verschluckt
In der Formel steht −b. Bei b = −5 wird daraus +5. Und (−5)² = +25, nicht −25 — Klammern retten dich.
Nicht in die Normalform gebracht
Erst alles auf eine Seite bringen (ax² + bx + c = 0), bevor du a, b, c abliest. Sonst stimmen schon die Koeffizienten nicht.
Durch 2 statt durch 2a geteilt
Der Nenner ist 2a. Bei a = 2 teilst du durch 4. Vergisst du das a, sind beide Lösungen falsch.
Diskriminante falsch gedeutet
D < 0 heißt keine reelle Lösung — nicht „x = 0“. D = 0 ergibt genau eine (doppelte) Lösung, nicht zwei.
Nur eine der zwei Lösungen angegeben
Das ± liefert bei D > 0 immer zwei Werte. Rechne den + und den − Fall getrennt aus und schreibe beide hin.
Lernen
Üben mit Plan — drei kurze Tipps
Diskriminante zuerst, immer
Berechne D, bevor du in die Formel einsetzt. So weißt du sofort, ob zwei, eine oder keine Lösung kommt — und entdeckst Rechenfehler früh.
Erst rechnen, dann Lösung anschauen
Schreibe deinen Rechenweg auf, bevor du den Tipp aufdeckst. Aktives Erinnern ist beim Lernen drei- bis viermal effektiver als passives Lesen.
Jede Lösung mit Vieta prüfen
x₁ + x₂ = −b/a und x₁ · x₂ = c/a sind in zehn Sekunden geprüft und fangen fast jeden Vorzeichen- oder Rechenfehler ab.
FAQ
Häufige Fragen zum Üben
Glossar
Begriffe in einem Satz
- Quadratische Gleichung
- Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0; die Variable kommt in zweiter Potenz vor.
- Mitternachtsformel
- Die Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a), auch a-b-c-Formel genannt.
- Diskriminante
- Der Term D = b² − 4ac unter der Wurzel, der die Anzahl der Lösungen bestimmt.
- Doppellösung
- Eine Lösung, die zweimal zählt; tritt genau dann auf, wenn D = 0 ist.
- Normalform
- Die Form ax² + bx + c = 0 mit allem auf einer Seite der Gleichung.
- Satz von Vieta
- x₁ + x₂ = −b/a und x₁ · x₂ = c/a — praktisch für die Probe.
- Bossfrage
- Die letzte und schwierigste Aufgabe eines Übungssets, die mehrere Schwierigkeiten kombiniert.