Zum Inhalt springen
π
LearnMath
TutorialsRechnerÜben
EN
Rechner

Quadratische Gleichung lösen

Quadratische Gleichungen lösen — kostenlos und Schritt für Schritt mit der Mitternachtsformel. Gib a, b, c ein, der Rechner zeigt D und beide Lösungen.

Kurze Antwort
Wie löst man eine quadratische Gleichung?
Bringe die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0 und setze in die Mitternachtsformel ein: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet über die Anzahl der Lösungen: D > 0 zwei, D = 0 eine, D < 0 keine reelle Lösung. Beispiel x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1, also x = (5 ± 1)/2 und damit x₁ = 3, x₂ = 2.
Rechner

Werte eingeben — Lösung mit Rechenweg

Komma oder Punkt als Dezimaltrennzeichen, negative Werte erlaubt.
Schritt für Schritt
Drücke Berechnen, um alle Schritte zu sehen.
HowTo

Quadratische Gleichung lösen — Anleitung in 4 Schritten

Am Beispiel „x² − 5x + 6 = 0“
  1. 1
    Schritt 1 von 4

    In die Normalform bringen

    Schreibe die Gleichung als ax² + bx + c = 0. Hier ist a = 1, b = −5, c = 6.

  2. 2
    Schritt 2 von 4

    Diskriminante berechnen

    D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. D > 0 bedeutet zwei Lösungen.

  3. 3
    Schritt 3 von 4

    In die Mitternachtsformel einsetzen

    x = (−b ± √D) / (2a) = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1)/2.

  4. 4
    Schritt 4 von 4

    Beide Lösungen ausrechnen

    x₁ = (5 + 1)/2 = 3 und x₂ = (5 − 1)/2 = 2. Probe: 3 + 2 = 5 = −b/a, 3 · 2 = 6 = c/a — passt.

Beispiele

Quadratische Gleichungen — gelöste Beispiele

Mit Mitternachtsformel und Diskriminante
x² − 5x + 6 = 0
D = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1)/2
x₁ = 3, x₂ = 2
x² − 4 = 0
D = 0 + 16 = 16
x = (0 ± 4)/2
x₁ = 2, x₂ = −2
x² + 6x + 9 = 0
D = 36 − 36 = 0
x = −6/2
x = −3 (doppelt)
2x² − 7x + 3 = 0
D = 49 − 24 = 25
x = (7 ± 5)/4
x₁ = 3, x₂ = 0,5
x² + x + 1 = 0
D = 1 − 4 = −3
D < 0
keine reelle Lösung
3x² − 12x = 0
D = 144 − 0 = 144
x = (12 ± 12)/6
x₁ = 4, x₂ = 0
Theorie

Die Mitternachtsformel und die Diskriminante

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Ihre Lösungen liefert die Mitternachtsformel (auch a-b-c-Formel oder allgemeine Lösungsformel): x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Der Ausdruck unter der Wurzel, D = b² − 4ac, heißt Diskriminante und steuert die Lösungsmenge: Bei D > 0 gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, bei D = 0 eine doppelte Lösung (die Parabel berührt die x-Achse), bei D < 0 keine reelle Lösung (die Parabel schneidet die x-Achse nicht). Alternativ lassen sich viele Gleichungen schneller über die p-q-Formel, Faktorisieren oder den Satz von Vieta lösen — der Satz von Vieta liefert zugleich eine bequeme Probe: x₁ + x₂ = −b/a und x₁ · x₂ = c/a. Quadratische Gleichungen treten ab Klasse 9 auf und sind die Grundlage für Parabeln, Wurf- und Optimierungsaufgaben.

Fallen

Häufige Fehler beim Lösen

Vorzeichen von b vergessen

In der Formel steht −b. Bei b = −5 wird daraus +5. Klammern setzen: (−5)² = 25, nicht −25.

Nicht in Normalform gebracht

Erst alles auf eine Seite bringen (ax² + bx + c = 0), bevor man a, b, c abliest.

Diskriminante falsch interpretiert

D < 0 heißt keine reelle Lösung — nicht „x = 0“. Bei D = 0 gibt es genau eine Lösung.

Durch a geteilt vergessen

Der Nenner ist 2a, nicht 2. Bei a = 2 wird durch 4 geteilt.
FAQ

Häufig gestellte Fragen zu quadratischen Gleichungen

Glossar

Glossar — wichtige Begriffe einfach erklärt

Quadratische Gleichung
Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0.
Mitternachtsformel
Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
Diskriminante
Der Term D = b² − 4ac, der die Zahl der Lösungen bestimmt.
Doppellösung
Eine Lösung, die zweimal zählt; tritt bei D = 0 auf.
Normalform
Die Form ax² + bx + c = 0 mit allem auf einer Seite.
Satz von Vieta
x₁ + x₂ = −b/a und x₁ · x₂ = c/a — praktisch zur Probe.