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Quadratische Gleichung lösen — Schritt für Schritt erklärt (Klasse 9)

Q: Wie löst man x² − 5x + 6 = 0?

Diskriminante D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Dann x = (5 ± √1)/2 = (5 ± 1)/2. Die Lösungen sind x₁ = 3 und x₂ = 2. Probe: 3 + 2 = 5 und 3 · 2 = 6.

Q: Was ist die Mitternachtsformel?

Die allgemeine Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) für jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Sie heißt so, weil man sie „auch um Mitternacht“ auswendig können soll, und wird auch a-b-c-Formel genannt.

Q: Was sagt die Diskriminante aus?

Die Diskriminante D = b² − 4ac steht unter der Wurzel und bestimmt die Zahl der Lösungen: D > 0 ergibt zwei verschiedene reelle Lösungen, D = 0 eine doppelte Lösung (die Parabel berührt die x-Achse), D < 0 keine reelle Lösung.

Q: Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung?

Wenn die Diskriminante negativ ist. Beispiel x² + x + 1 = 0: D = 1 − 4 = −3 < 0 — im Reellen gibt es dann keine Lösung, weil man aus einer negativen Zahl keine reelle Wurzel ziehen kann.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Mitternachtsformel und p-q-Formel?

Die p-q-Formel x = −p/2 ± √((p/2)² − q) setzt voraus, dass a = 1 ist (Gleichung der Form x² + px + q = 0). Die Mitternachtsformel funktioniert dagegen für jedes a, du musst also nicht vorher teilen.

Q: Wie mache ich die Probe?

Am schnellsten mit dem Satz von Vieta: Die Summe der Lösungen muss −b/a ergeben und ihr Produkt c/a. Bei x₁ = 3 und x₂ = 2: 3 + 2 = 5 = −(−5)/1 und 3 · 2 = 6 = 6/1 — beides stimmt.

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Du löst sie mit der Mitternachtsformel (auch a-b-c-Formel): x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Rechenbeispiel: x² − 5x + 6 = 0 → x₁ = 3, x₂ = 2 in vier Schritten. Passt zum Lehrplan ab Klasse 9.

Von Valerij Hofmann · Fullstack Entwickler

Aktualisiert 29. Mai 2026Mittel

Kurze Antwort

Bringe die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0 und setze in die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) ein. Die Diskriminante D = b² − 4ac sagt dir die Zahl der Lösungen. Beispiel x² − 5x + 6 = 0: D = 1, also x₁ = 3 und x₂ = 2.

Auf einen Blick

Zusammenfassung dieses Tutorials
Gleichung	x² − 5x + 6 = 0
Methode	Mitternachtsformel (a-b-c-Formel)
Schritte	4
Lösung	x₁ = 3, x₂ = 2
Probe (Vieta)	3 + 2 = 5, 3 · 2 = 6 ✓
Klassenstufe	Klasse 9 (14–15 Jahre)

Beispiel: x² − 5x + 6 = 0

BEISPIEL

x² − 5x + 6 = 0

Hier ist a = 1, b = −5, c = 6. Wir berechnen erst die Diskriminante, dann beide Lösungen.

Die 4 Schritte zum Lösen einer quadratischen Gleichung

Diese vier Schritte funktionieren für jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0.

Schritt 1 · Start
x² − 5x + 6 = 0
Normalform mit a = 1, b = −5, c = 6.
Schritt 2 · Diskriminante
D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1
D = b² − 4ac. Weil D > 0 ist, gibt es zwei reelle Lösungen.
Schritt 3 · Formel
x = (5 ± √1) / 2
Einsetzen in die Mitternachtsformel x = (−b ± √D)/(2a).
Schritt 4 · Lösung
x₁ = 3, x₂ = 2
Beide Werte ausrechnen: (5 + 1)/2 = 3 und (5 − 1)/2 = 2.
Schritt 5 · Probe
3 + 2 = 5 = −b/a, 3 · 2 = 6 = c/a
Satz von Vieta bestätigt die Lösungen.

Warum die Mitternachtsformel funktioniert

Die Mitternachtsformel ist nichts anderes als das Ergebnis der quadratischen Ergänzung, einmal allgemein durchgerechnet. Man formt ax² + bx + c = 0 zu einem vollständigen Quadrat um und zieht die Wurzel — dabei entsteht das ±, weil eine Wurzel zwei Vorzeichen erlaubt. Der Ausdruck D = b² − 4ac steht unter dieser Wurzel: Ist er negativ, gibt es keine reelle Wurzel und damit keine reelle Lösung; ist er null, fallen beide Lösungen zusammen; ist er positiv, ergeben sich zwei verschiedene Werte.

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Eigene a, b, c eingeben. Diskriminante und beide Lösungen mit allen Schritten sehen.

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Häufige Fragen

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

In vier Schritten: 1) In die Normalform ax² + bx + c = 0 bringen und a, b, c ablesen. 2) Die Diskriminante D = b² − 4ac berechnen. 3) In die Mitternachtsformel x = (−b ± √D)/(2a) einsetzen. 4) Beide Lösungen ausrechnen und mit dem Satz von Vieta prüfen. Bei x² − 5x + 6 = 0 ergibt das x₁ = 3 und x₂ = 2.

Wie löst man x² − 5x + 6 = 0?

Was ist die Mitternachtsformel?

Was sagt die Diskriminante aus?

Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung?

Was ist der Unterschied zwischen Mitternachtsformel und p-q-Formel?

Wie mache ich die Probe?

Kurze Antwort

Auf einen Blick

Beispiel: x² − 5x + 6 = 0

Die 4 Schritte zum Lösen einer quadratischen Gleichung

Schritt 1 · Start

Schritt 2 · Diskriminante

Schritt 3 · Formel

Schritt 4 · Lösung

Schritt 5 · Probe

Warum die Mitternachtsformel funktioniert

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