Übung · Klasse 9 Geometrie
Möndchen des Hippokrates — Aufgaben
Aufgaben zur Möndchen-Fläche A = a·b/2 in steigender Schwierigkeit, plus eine Bossfrage. Mit Tipp und Lösungsweg pro Aufgabe, kostenlos.
Aufgabe 1 / 7
0 richtig
Rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 3 und b = 4. Wie groß sind die beiden Möndchen über den Katheten zusammen?
A = a·b/2 = 3·4/2
Kurze Antwort
Wie übe ich die Möndchen des Hippokrates am besten?
Rechne mehrere Aufgaben mit verschiedenen Katheten a und b und nutze immer dieselbe Formel: Die beiden Möndchen über den Katheten sind zusammen genau so groß wie das Dreieck, also A = a·b/2. Bestätige bei jeder Aufgabe zur Probe die Hypotenuse mit c = √(a²+b²), und merke dir: π fällt im Ergebnis weg. Für a = 3, b = 4 ist A = 6.
HowTo
Lösungsstrategie in 3 Schritten
Diese Reihenfolge funktioniert für jede Aufgabe mit den Katheten a und b eines rechtwinkligen Dreiecks.
- 1Schritt 1 von 3
Katheten heraussuchen und Rechtwinkligkeit prüfen
a und b sind die beiden Seiten am rechten Winkel. Zur Sicherheit kannst du c = √(a²+b²) bilden — bei pythagoreischen Tripeln wie 3-4-5 oder 5-12-13 ist c eine ganze Zahl.
- 2Schritt 2 von 3
Dreiecksfläche bilden: a·b/2
Multipliziere die beiden Katheten und teile durch 2. Das ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks — und nach dem Satz des Hippokrates gleichzeitig die gemeinsame Fläche der beiden Möndchen.
- 3Schritt 3 von 3
Satz des Hippokrates anwenden — kein π
Schreibe A(Möndchen) = A△ = a·b/2 hin. Versuche nicht, die Halbkreise einzeln auszurechnen: Beim Subtrahieren kürzen sich über den Satz des Pythagoras alle Kreisanteile weg.
Beispiele
Übungsbeispiele mit ausführlichem Rechenweg
Vier typische Aufgaben zur Möndchen-Fläche. Versuche jede zuerst selbst, dann vergleiche mit dem Lösungsweg.
Leicht
Katheten a = 3, b = 4. Möndchen-Fläche gesucht.
c = √(3²+4²) = √(9+16) = 5
A△ = a·b/2 = 3·4/2 = 6
A(Möndchen) = A△ = 6
Probe: c = 5 ist ganzzahlig → 3-4-5-Dreieck ✓
Das klassische Beispiel. Die Fläche folgt direkt aus a·b/2 — ohne Kreise und ohne π.
Leicht
Katheten a = 5, b = 12. Möndchen-Fläche gesucht.
c = √(5²+12²) = √(25+144) = 13
A△ = a·b/2 = 5·12/2 = 30
A(Möndchen) = 30
Probe: 5-12-13 ist ein pythagoreisches Tripel ✓
Auch hier ist c ganzzahlig. Erst a·b, dann durch 2 — das genügt.
Mittel
Katheten a = 6, b = 8. Möndchen-Fläche gesucht.
c = √(6²+8²) = √(36+64) = 10
A△ = a·b/2 = 6·8/2 = 24
A(Möndchen) = 24
Probe: 6-8-10 ist das verdoppelte 3-4-5-Tripel ✓
Skaliert man ein 3-4-5-Dreieck um den Faktor 2, vervierfacht sich die Fläche: 6 → 24.
Schwer
Boss: Katheten a = 9, b = 12. Möndchen-Fläche gesucht.
c = √(9²+12²) = √(81+144) = √225 = 15
A△ = a·b/2 = 9·12/2 = 108/2 = 54
A(Möndchen) = A△ = 54
Probe: 9-12-15 ist das verdreifachte 3-4-5-Tripel ✓
Drei verwandte Tripel (3-4-5, 6-8-10, 9-12-15). Die Formel a·b/2 bleibt immer gleich.
Fallen
Typische Fehler — und wie du sie vermeidest
Diese fünf Stolperfallen tauchen beim Üben der Möndchen-Fläche immer wieder auf.
Die Halbkreise einzeln ausrechnen
Du musst nicht über die Kreisflächen gehen. Der Satz des Hippokrates liefert die Fläche direkt als a·b/2 — die Kreisanteile kürzen sich von selbst weg.
π in das Ergebnis schreiben
Obwohl Halbkreise beteiligt sind, fällt π im Endergebnis vollständig weg. Eine Antwort wie „6π" ist falsch; richtig ist die reine Zahl a·b/2.
Die Hypotenuse als Kathete einsetzen
a und b sind die beiden kurzen Seiten am rechten Winkel. c = √(a²+b²) ist die Hypotenuse und kein Eingabewert für die Formel.
Nur ein Möndchen zählen
Der Satz gilt für die Summe beider Möndchen über den Katheten. Ein einzelnes Möndchen ist nicht halb so groß wie das Dreieck.
Das Teilen durch 2 vergessen
a·b ist die Fläche eines Rechtecks, nicht des Dreiecks. Die Dreiecks- und damit Möndchen-Fläche ist a·b/2.
Lernen
Üben mit Plan — drei kurze Tipps
Pythagoreische Tripel auswendig kennen
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 und ihre Vielfachen (6-8-10, 9-12-15) tauchen ständig auf. Wer sie kennt, prüft die Hypotenuse im Kopf und spart Rechenzeit.
Erst rechnen, dann Lösung anschauen
Schreibe deinen Rechenweg auf, bevor du den Tipp aufdeckst. Aktives Erinnern ist beim Lernen deutlich effektiver als passives Lesen.
Bei jeder falschen Antwort: warum?
War es ein vergessenes ÷2? Ein fälschliches π? Eine verwechselte Hypotenuse? Notiere die Ursache — beim nächsten Mal erkennst du den Fehler sofort.
FAQ
Häufige Fragen zum Üben
Glossar
Begriffe in einem Satz
- Möndchen
- Mondsichelförmige Fläche zwischen zwei Kreisbögen — hier zwischen einem Katheten-Halbkreis und dem Hypotenusen-Halbkreis.
- Kathete
- Eine der beiden Seiten am rechten Winkel; a und b sind die Eingabewerte.
- Hypotenuse
- Die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel: c = √(a²+b²).
- Satz des Hippokrates
- Die beiden Möndchen über den Katheten sind zusammen so groß wie das Dreieck: A = a·b/2.
- Satz des Pythagoras
- Die Regel a² + b² = c²; sie sorgt dafür, dass sich beim Möndchen-Beweis alle Kreisanteile wegheben.
- Halbkreis
- Halbe Kreisfläche, die über einer Dreiecksseite nach außen gezeichnet wird.
- Quadratur
- Eine krumm berandete Fläche durch eine geradlinig berandete exakt darstellen.