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Fläche der Möndchen des Hippokrates berechnen — Schritt für Schritt

Q: Warum sind die beiden Möndchen zusammen so groß wie das Dreieck?

Halbkreisflächen sind proportional zum Quadrat ihres Durchmessers. Beim Addieren der Katheten-Halbkreise und Abziehen des Hypotenusen-Halbkreises sorgt der Satz des Pythagoras (a²+b²=c²) dafür, dass sich alle Kreisanteile wegheben. Übrig bleibt a·b/2.

Q: Brauche ich π für die Rechnung?

Nein. Obwohl Halbkreise beteiligt sind, fällt π im Endergebnis vollständig weg. Die Möndchen-Fläche ist die rein algebraische Größe A = a·b/2.

Q: Muss das Dreieck rechtwinklig sein?

Ja. Der Satz des Hippokrates setzt einen rechten Winkel zwischen den Katheten a und b voraus, denn nur dann gilt a²+b²=c² und die Kreisanteile kürzen sich.

Q: Wie berechne ich die Hypotenuse?

Mit dem Satz des Pythagoras: c = √(a²+b²). Für a = 3 und b = 4 ist c = √(9+16) = 5. Die Hypotenuse ist kein Eingabewert, sondern ergibt sich aus a und b.

Q: Hat das mit der Quadratur des Kreises zu tun?

Die Möndchen waren historisch ein Hoffnungsträger: Hier wird eine krumm berandete Fläche exakt durch eine geradlinige dargestellt. Die Quadratur des ganzen Kreises erwies sich später jedoch als unmöglich.

Über einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b wird auf jeder Seite ein Halbkreis nach außen gezeichnet. Der Satz des Hippokrates sagt: Die beiden mondsichelförmigen Möndchen über den Katheten haben zusammen genau die Fläche des Dreiecks, also A = a·b/2. Rechenbeispiel: a = 3, b = 4 → A = 6. Geometrie für Klasse 9 (Oberstufe/Enrichment).

Von Valerij Hofmann · Fullstack Entwickler

Aktualisiert 29. Mai 2026Fortgeschritten

Kurze Antwort

Zeichnet man über jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks einen Halbkreis nach außen, so sind die beiden Möndchen über den Katheten zusammen genau so groß wie das Dreieck selbst: A = a·b/2. Für a = 3 und b = 4 ergibt das A = 6 — ganz ohne π.

Auf einen Blick

Zusammenfassung dieses Tutorials
Beispiel	a = 3, b = 4
Methode	Satz des Hippokrates
Formel	A = a·b/2
Ergebnis	A = 6
Probe	c = √(9+16) = 5, A△ = 3·4/2 = 6 ✓
Klassenstufe	Klasse 9 (Oberstufe/Enrichment)

Beispiel: a = 3, b = 4

BEISPIEL

a = 3, b = 4 → A = a·b/2

a und b sind die Katheten am rechten Winkel; gesucht ist die gemeinsame Fläche der beiden Möndchen.

Die Schritte zur Möndchen-Fläche

Diese Schritte funktionieren für jedes rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a und b.

Schritt 1 · Start
a = 3, b = 4
Die beiden Katheten am rechten Winkel.
Schritt 2 · Pythagoras
c = √(a²+b²) = √(9+16) = 5
Über der Hypotenuse liegt der große Halbkreis.
Schritt 3 · ·b/2
A△ = a·b/2 = 3·4/2
Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks.
Schritt 4 · Hippokrates
A(Möndchen) = A△
Die beiden Möndchen sind zusammen so groß wie das Dreieck.
Schritt 5 · Ergebnis
= 6
Die gemeinsame Möndchen-Fläche — ohne π.

Warum die Möndchen so groß sind wie das Dreieck

Die Fläche eines Halbkreises ist proportional zum Quadrat seines Durchmessers. Addiert man die Halbkreise über den beiden Katheten und zieht den Halbkreis über der Hypotenuse ab, so verlangt der Satz des Pythagoras a² + b² = c², dass sich genau alle Kreisanteile — und damit π — wegheben. Übrig bleibt die rein geradlinige Dreiecksfläche a·b/2. Eine von Kreisbögen berandete Fläche wird so exakt durch eine geradlinige „quadriert“.

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Häufige Fragen

Wie groß ist die Fläche der Möndchen bei a = 3 und b = 4?

Sie ist genauso groß wie die Dreiecksfläche: A = a·b/2 = 3·4/2 = 6. Du musst die Halbkreise nicht einzeln ausrechnen — der Satz des Hippokrates liefert das Ergebnis direkt.

Was sind die Möndchen des Hippokrates?

Warum sind die beiden Möndchen zusammen so groß wie das Dreieck?

Brauche ich π für die Rechnung?

Muss das Dreieck rechtwinklig sein?

Wie berechne ich die Hypotenuse?

Hat das mit der Quadratur des Kreises zu tun?

Kurze Antwort

Auf einen Blick

Beispiel: a = 3, b = 4

Die Schritte zur Möndchen-Fläche

Schritt 1 · Start

Schritt 2 · Pythagoras

Schritt 3 · ·b/2

Schritt 4 · Hippokrates

Schritt 5 · Ergebnis

Warum die Möndchen so groß sind wie das Dreieck

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Häufige Fragen