Übung · Klasse 11 Analysis
Kettenkurve — Aufgaben üben
Aufgaben zur Kettenlinie y = a·cosh(x/a) in steigender Schwierigkeit plus Bossfrage. Höhe y berechnen, Durchhang prüfen, cosh sicher anwenden. Klasse 11.
Aufgabe 1 / 7
0 richtig
Höhe der Kette am tiefsten Punkt für a = 2:
y = 2 · cosh(0 ⁄ 2)
Kurze Antwort
Wie übe ich die Kettenkurve am besten?
Rechne Aufgaben in steigender Schwierigkeit: Bilde immer zuerst das Verhältnis x/a, werte dann cosh davon aus (cosh(t) = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2) und multipliziere zum Schluss mit a — das ergibt y = a·cosh(x/a). Prüfe am tiefsten Punkt (x = 0 → y = a) und achte darauf, cosh nicht mit dem gewöhnlichen cos zu verwechseln. Runde wie der Rechner auf 4 Nachkommastellen und mache die Probe über den Durchhang y − a.
HowTo
Lösungsstrategie in 4 Schritten
Diese Reihenfolge funktioniert für jede Kettenkurven-Aufgabe — Höhe y, Durchhang oder Vergleich.
- 1Schritt 1 von 4
a und x ablesen, a > 0 prüfen
Notiere den Formparameter a und die Stelle x. Der Parameter a muss positiv sein, sonst ist x/a nicht sinnvoll definiert.
- 2Schritt 2 von 4
Verhältnis x/a bilden
Teile x durch a — das ist das Argument des Kosinus hyperbolicus. Beispiel: x = 3, a = 2 → x/a = 1,5.
- 3Schritt 3 von 4
cosh auswerten und mit a multiplizieren
Berechne cosh(x/a) = (e^(x/a) + e^−(x/a))/2 und multipliziere mit a: y = a·cosh(x/a). Den Faktor a vorne nicht vergessen.
- 4Schritt 4 von 4
Runden und Probe machen
Runde auf 4 Nachkommastellen wie der Rechner. Probe: Bei x = 0 muss y = a herauskommen; der Durchhang y − a ist immer ≥ 0.
Beispiele
Übungsbeispiele mit ausführlichem Rechenweg
Vier typische Aufgabentypen zur Kettenlinie. Versuche jede zuerst selbst, dann vergleiche mit dem Lösungsweg.
Leicht
Höhe für a = 1, x = 1
y = 1 · cosh(1 ⁄ 1)
x/a = 1/1 = 1
cosh(1) ≈ 1,5431
y = 1 · 1,5431 = 1,5431
Probe: cosh ≥ 1, also y ≥ a = 1 ✓
Grundfall mit a = 1: y ist hier gleich cosh(x). Nicht mit cos(1) ≈ 0,5403 verwechseln.
Mittel
Höhe für a = 2, x = 3
y = 2 · cosh(3 ⁄ 2)
x/a = 3/2 = 1,5
cosh(1,5) ≈ 2,3524
y = 2 · 2,3524 = 4,7048
Probe: Durchhang y − a = 4,7048 − 2 = 2,7048 ≥ 0 ✓
Standardaufgabe. Erst das Verhältnis, dann cosh, dann mal a — in genau dieser Reihenfolge.
Schwer
Höhe für a = 3, x = 6
y = 3 · cosh(6 ⁄ 3)
x/a = 6/3 = 2
cosh(2) ≈ 3,7622
y = 3 · 3,7622 = 11,2866
Probe: y − a = 11,2866 − 3 = 8,2866 ≥ 0 ✓
Größeres Verhältnis x/a = 2 lässt y deutlich ansteigen — cosh wächst für große Argumente schnell.
Schwer
Boss: Höhe für a = 3, x = 7,5
y = 3 · cosh(7,5 ⁄ 3)
x/a = 7,5/3 = 2,5
cosh(2,5) ≈ 6,1323
y = 3 · 6,1323 = 18,3969
Probe: y − a = 18,3969 − 3 = 15,3969 ≥ 0 ✓
Krummes Verhältnis (2,5) und großes Argument — hier zeigt sich, wie steil cosh ansteigt. Sauber runden.
Fallen
Typische Fehler — und wie du sie vermeidest
Diese Stolperfallen tauchen bei Kettenkurven-Aufgaben immer wieder auf.
cosh mit cos verwechselt
Die Kettenlinie nutzt den Kosinus hyperbolicus cosh, nicht den gewöhnlichen cos. cosh(1) ≈ 1,5431, aber cos(1) ≈ 0,5403 — völlig andere Werte. cosh wächst unbeschränkt und schwingt nicht.
Den Faktor a vorne vergessen
Die Formel ist y = a·cosh(x/a), nicht nur cosh(x/a). Erst cosh(x/a) berechnen, dann mit a multiplizieren — sonst fehlt die Skalierung.
x und a in x/a vertauscht
Im Argument steht x geteilt durch a, also x/a. Bei a = 2, x = 3 ist das 1,5 — nicht a/x = 0,6667.
Falsch oder zu früh gerundet
Rechne mit genügend Stellen weiter und runde erst das Endergebnis auf 4 Nachkommastellen, so wie der Rechner es zeigt.
Kettenlinie mit Parabel gleichgesetzt
y = a·cosh(x/a) ist keine Parabel y = c·x². Wer mit der Parabelformel rechnet, bekommt andere Werte — beide stimmen nur nahe x = 0 ungefähr überein.
Lernen
Üben mit Plan — drei kurze Tipps
cosh-Werte als Anker merken
cosh(0) = 1, cosh(1) ≈ 1,5431, cosh(2) ≈ 3,7622. Mit diesen Stützwerten erkennst du grobe Rechenfehler sofort.
Erst rechnen, dann Tipp aufdecken
Schreibe deinen Rechenweg auf, bevor du den Tipp oder die Lösung anschaust. Aktives Erinnern bringt beim Lernen deutlich mehr als passives Lesen.
Bei jeder falschen Antwort: warum?
War es cos statt cosh? Der fehlende Faktor a? Ein Rundungsfehler? Notiere die Ursache — dann fällt dir der Fehler beim nächsten Mal sofort auf.
FAQ
Häufige Fragen zum Üben
Glossar
Begriffe in einem Satz
- Kettenlinie
- Kurve einer frei hängenden Kette: y = a·cosh(x/a).
- Parameter a
- Formfaktor der Kurve und zugleich Höhe des tiefsten Punktes.
- cosh
- Kosinus hyperbolicus, cosh(t) = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2.
- Argument
- Der Eingabewert von cosh — hier das Verhältnis x/a.
- Tiefster Punkt
- Die Stelle x = 0, dort gilt y = a.
- Durchhang
- Anstieg über den tiefsten Punkt, y − a.
- Bossfrage
- Die letzte und schwierigste Aufgabe eines Übungssets.