Kettenkurve berechnen — Schritt für Schritt erklärt (Klasse 11)
Eine biegsame Kette, die nur an ihren Enden hängt, nimmt unter ihrem Eigengewicht die Form der Kettenlinie y = a·cosh(x/a) an. Der Parameter a steuert die Form, cosh ist der Kosinus hyperbolicus. Rechenbeispiel: a = 2, x = 3 → y ≈ 4,70. Hyperbelfunktionen gehören zur Analysis der Oberstufe (Klasse 11).
Kurze Antwort
Eine frei hängende Kette folgt der Kettenlinie y = a·cosh(x/a). Der Parameter a legt die Form fest und ist die Höhe des tiefsten Punktes. Beispiel a = 2, x = 3: y = 2·cosh(1,5) ≈ 4,70.
Auf einen Blick
| Formel | y = a·cosh(x/a) |
|---|---|
| Methode | Kosinus hyperbolicus auswerten |
| Schritte | Verhältnis x/a, cosh, mal a |
| Beispiel | a=2, x=3 → ≈ 4,70 |
| Tiefster Punkt | x = 0, dort y = a |
| Klassenstufe | Klasse 11 (Analysis, Oberstufe) |
Beispiel: y = 2·cosh(3/2)
Wir suchen die Höhe der Kette bei x = 3, wenn der Formparameter a = 2 ist.
Die Schritte zur Kettenkurve
Diese Schritte berechnen die Höhe y für jede Stelle x bei gegebenem Parameter a.
Schritt 1 · Start
y = a · cosh(x ⁄ a)Die allgemeine Formel der Kettenlinie.Schritt 2 · Einsetzen
2 · cosh(3 ⁄ 2)a = 2 und x = 3 einsetzen.Schritt 3 · Verhältnis
2 · cosh(1,5)x/a = 3/2 = 1,5 ausrechnen.Schritt 4 · Ergebnis
≈ 4,70cosh(1,5) ≈ 2,3524, mal 2 ergibt ≈ 4,70.Schritt 5 · Probe
Durchhang: 4,70 − 2 = 2,70Höhe über dem tiefsten Punkt (y − a).
Warum y = a·cosh(x/a) die Kette beschreibt
An jeder Stelle der Kette müssen sich Gewicht und Seilspannung im Gleichgewicht halten. Löst man diese Kräftebilanz auf, ergibt sich genau der Kosinus hyperbolicus cosh(t) = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2. Der Parameter a setzt den Maßstab: Bei x = 0 ist cosh(0) = 1, also y = a — das ist der tiefste Punkt. Mit wachsendem |x| steigt y immer steiler. Die Kettenlinie ähnelt einer Parabel, fällt aber flacher ab — beide stimmen nur in der Nähe des Tiefpunkts überein.