Übung · Zahlentheorie · Collatz
Collatz-Folge berechnen — Aufgaben
Übungsaufgaben zur Collatz-Vermutung (3n+1): Stoppzeit und Höchstwert ausrechnen, Aussagen prüfen. Steigende Schwierigkeit plus Bossfrage, kostenlos.
Aufgabe 1 / 6
0 richtig
Wie viele Schritte braucht die 10 bis zur 1?
n = 10
Kurze Antwort
Wie übe ich die Collatz-Folge am besten?
Rechne mehrere Startzahlen komplett durch: Ist die Zahl gerade, halbiere sie (n/2); ist sie ungerade, rechne 3n + 1. Schreibe jede Folge mit Pfeilen auf und zähle die Pfeile — das ist die Stoppzeit. Notiere dir parallel den größten Wert, der auftaucht (den Höchstwert). Mische die Aufgaben: mal die Schrittzahl bestimmen, mal eine Aussage wie „27 braucht mehr als 100 Schritte" als wahr oder falsch einstufen. Beispiel: 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 sind 6 Schritte.
HowTo
Lösungsstrategie in 4 Schritten
Diese Reihenfolge funktioniert für jede positive ganze Startzahl.
- 1Schritt 1 von 4
Folge sauber aufschreiben
Beginne mit der Startzahl und schreibe jeden neuen Wert mit Pfeil dahinter: n → … → 1. So verlierst du beim Zählen nichts und kannst später kontrollieren.
- 2Schritt 2 von 4
Regel pro Schritt anwenden
Gerade Zahl → durch 2 teilen. Ungerade Zahl → mit 3 multiplizieren und 1 addieren (3n + 1). Niemals beide Regeln auf dieselbe Zahl anwenden.
- 3Schritt 3 von 4
Stoppzeit oder Höchstwert ablesen
Die Stoppzeit ist die Anzahl der Pfeile bis zur 1. Der Höchstwert ist die größte Zahl, die irgendwo in der Folge steht — beides getrennt notieren.
- 4Schritt 4 von 4
Bei Aussagen gezielt vergleichen
Soll eine Behauptung geprüft werden („Stoppzeit > 100?"), rechne die Folge bis zum gefragten Punkt und vergleiche das Ergebnis mit der Aussage.
Beispiele
Übungsbeispiele mit vollem Rechenweg
Vier Collatz-Folgen Schritt für Schritt. Versuche jede zuerst selbst, dann vergleiche.
Leicht
Wie viele Schritte braucht die 6?
6 ist gerade → 6/2 = 3
3 ist ungerade → 3·3+1 = 10
10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
Pfeile zählen: 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
8 Pfeile, Höchstwert 16
Die Stoppzeit von 6 ist 8 Schritte.
Mittel
Welchen Höchstwert erreicht die 7?
7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52
52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10
10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
Größte auftauchende Zahl markieren
Höchstwert 52, Stoppzeit 16
Obwohl 7 klein ist, klettert die Folge bis 52, bevor sie fällt.
Mittel
Wie viele Schritte braucht die 11?
11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13
13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16
16 → 8 → 4 → 2 → 1
Alle Pfeile zählen
14 Pfeile, Höchstwert 52
Stoppzeit 14 — typisch chaotisch im Vergleich zur Nachbarschaft.
Schwer
Boss: Wie viele Schritte braucht die 18?
18 → 9 → 28 → 14 → 7 → 22
22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26
26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5
5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
20 Pfeile, Höchstwert 52
18 startet gerade, läuft dann über 9 und 7 lange weiter — Stoppzeit 20.
Fallen
Typische Fehler — und wie du sie vermeidest
Diese fünf Stolperfallen tauchen beim Collatz-Üben immer wieder auf.
Regel vertauscht
Gerade → halbieren, ungerade → 3n + 1. Wer das umdreht, erhält eine ganz andere Folge und eine falsche Stoppzeit.
Startzahl mitgezählt
Die Stoppzeit zählt die Schritte (Pfeile), nicht die Zahlen. Bei 16 → 8 → 4 → 2 → 1 stehen 5 Zahlen, aber es sind 4 Schritte.
Stoppzeit und Höchstwert verwechselt
Die Stoppzeit ist die Schrittzahl, der Höchstwert die größte erreichte Zahl. Für 27: 111 Schritte, aber Höchstwert 9232.
Beim 3n+1-Schritt das +1 vergessen
Ungerade Zahl heißt 3·n + 1, nicht nur 3·n. Aus 7 wird 22, nicht 21 — das +1 entscheidet über die ganze weitere Folge.
Monotones Fallen erwartet
Die Folge fällt nicht stetig. Sie kann stark ansteigen (7 bis 52), bevor sie schließlich die 1 erreicht — nicht zu früh aufhören.
Lernen
Üben mit Plan — drei kurze Tipps
Erst Hand, dann Rechner
Rechne jede Folge zuerst von Hand mit Pfeilen durch und vergleiche danach mit dem Collatz-Rechner. So erkennst du Rechenfehler genau an der Stelle, an der sie passieren.
Stoppzeit und Höchstwert getrennt notieren
F ühre zwei Spalten: eine für die Schrittzahl, eine für die größte Zahl. So verwechselst du die beiden Kennzahlen in der Klausur nicht mehr.
Nachbarzahlen vergleichen
Rechne benachbarte Startzahlen wie 26 und 27 nebeneinander (10 vs. 111 Schritte). Das zeigt dir eindrücklich, wie chaotisch die Stoppzeiten schwanken.
FAQ
Häufige Fragen zum Üben
Glossar
Begriffe in einem Satz
- Collatz-Vermutung
- Die Vermutung, dass die (3n+1)-Folge von jeder positiven Startzahl aus bei 1 endet.
- Stoppzeit
- Die Anzahl der Schritte, bis die Folge zum ersten Mal die 1 erreicht.
- Höchstwert
- Die größte Zahl, die die Folge unterwegs erreicht.
- (3n+1)-Regel
- Bei ungerader Zahl: mit 3 multiplizieren und 1 addieren.
- Iteration
- Das wiederholte Anwenden derselben Regel auf das jeweils neue Ergebnis.
- Zyklus 4 → 2 → 1
- Die Endschleife, in die jede Collatz-Folge mündet.
- Bossfrage
- Die letzte und schwierigste Aufgabe des Übungssets, hier die längste Folge.