Collatz-Vermutung verstehen — die (3n+1)-Folge Schritt für Schritt
Die Collatz-Vermutung – auch (3n+1)-Problem genannt – folgt einer winzigen Regel: gerade Zahlen halbieren, ungerade mit 3 multiplizieren und 1 addieren. Erstaunlich: Egal womit man startet, man landet offenbar immer bei 1. Wir verfolgen das am Beispiel der Startzahl 6 (8 Schritte) und werfen einen Blick auf das berüchtigte 27, das 111 Schritte braucht. Ein klassisches Enrichment-Thema der Zahlentheorie ab Klasse 9.
Kurze Antwort
Die Collatz-Vermutung ist eine einfache Regel: Ist eine Zahl gerade, halbiere sie (n/2); ist sie ungerade, rechne 3n + 1. Wiederholt man das, landet man – so die Vermutung – immer bei 1. Beispiel: 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1, das sind 8 Schritte. Bewiesen ist die Vermutung bis heute nicht.
Auf einen Blick
| Beispiel | 6 → 3 → 10 → … → 1 |
|---|---|
| Regel | gerade → n/2, ungerade → 3n+1 |
| Schritte | 8 |
| Höchstwert | 16 |
| Stoppzeit 27 | 111 Schritte (Höchstwert 9232) |
| Klassenstufe | Klasse 9+ / Enrichment |
Beispiel: 6 → 3 → 10 → … → 1
Wir starten bei 6 und wenden die Regel an, bis wir die 1 erreichen.
So berechnest du eine Collatz-Folge
Diese Schritte funktionieren für jede positive ganze Startzahl.
Schritt 1 · Start
n = 6Startzahl. 6 ist gerade, also halbieren.Schritt 2 · ÷2
6/2 = 3Gerade → durch 2 teilen. 3 ist ungerade.Schritt 3 · 3n+1
3·3+1 = 10Ungerade → mit 3 multiplizieren und 1 addieren.Schritt 4 · weiter
10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1Regel weiter anwenden, bis die 1 erscheint (Höchstwert 16).Schritt 5 · Stoppzeit
= 8 SchritteVon 6 bis zur 1 sind es 8 Schritte.
Warum die Folge (vermutlich) immer bei 1 endet
Halbieren verkleinert eine Zahl, der Schritt 3n + 1 vergrößert sie zunächst – das Ergebnis ist aber stets gerade und wird sofort wieder halbiert. Im Schnitt überwiegt das Schrumpfen: Über viele Schritte wird jede ungerade Zahl effektiv mit dem Faktor 3/4 statt 3 multipliziert, sodass die Folge langfristig fällt. Sobald eine Zweierpotenz wie 16, 8, 4, 2 erreicht ist, rutscht alles direkt nach unten zur 1. Ein vollständiger Beweis fehlt jedoch bis heute.