Übung · Klasse 10 Folgen & Reihen
Arithmetische Folge — Aufgaben
Trainingsaufgaben zum n-ten Glied und zur Summe in steigender Schwierigkeit, plus eine Bossfrage. Tipp und Lösungsweg pro Aufgabe. Klasse 10, kostenlos.
Aufgabe 1 / 7
0 richtig
Berechne das n-te Glied der Folge.
a₁ = 4, d = 3, n = 10 → a₁₀
Kurze Antwort
Wie übe ich arithmetische Folgen am besten?
Rechne mehrere Aufgaben in steigender Schwierigkeit: erst das n-te Glied mit aₙ = a₁ + (n−1)·d, dann die Summe mit Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d). Übe gezielt fallende Folgen (d negativ), schreibe jeden Einsetzschritt auf und prüfe das Ergebnis über das Mittel aus erstem und letztem Glied. Nutze einen Tipp lieber einmal mehr — Verstehen schlägt schnelles Raten.
HowTo
Lösungsstrategie in 4 Schritten
Diese Reihenfolge funktioniert für jede arithmetische Folge — n-tes Glied oder Summe.
- 1Schritt 1 von 4
a₁, d und n aus der Aufgabe ablesen
Bestimme das erste Glied a₁, die konstante Differenz d = a₂ − a₁ und das gesuchte n. Frage dich: Wird das n-te Glied oder die Summe verlangt?
- 2Schritt 2 von 4
Passende Formel wählen
Für ein einzelnes Glied: aₙ = a₁ + (n−1)·d. Für die Summe der ersten n Glieder: Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d).
- 3Schritt 3 von 4
Werte einsetzen — mit Vorzeichen
Setze a₁, d und n in die Formel ein. Bei negativem d aufpassen: (n−1)·d kann negativ werden, z. B. 11·(−2) = −22.
- 4Schritt 4 von 4
Ausrechnen und prüfen
Rechne Klammer zuerst, dann den Rest. Plausibilitätscheck für die Summe: Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) — Mittel aus erstem und letztem Glied mal n.
Beispiele
Übungsbeispiele mit ausführlichem Rechenweg
Vier typische Aufgabentypen. Versuche jede zuerst selbst, dann vergleiche mit dem Lösungsweg.
Leicht
n-tes Glied: a₁ = 3, d = 5, n = 10
aₙ = a₁ + (n−1)·d
a₁₀ = 3 + (10−1)·5
= 3 + 9·5 = 3 + 45
a₁₀ = 48 ✓ (Folge 3, 8, 13, …)
Standardform. Zum ersten Glied (n−1)-mal die Differenz addieren.
Leicht
Fallende Folge: a₁ = 20, d = −3, n = 7
a₇ = 20 + (7−1)·(−3)
= 20 + 6·(−3)
= 20 − 18
a₇ = 2 ✓
Negatives d: die Folge fällt. (n−1)·d wird negativ, also subtrahieren.
Mittel
Summe: a₁ = 2, d = 4, n = 8
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d)
S₈ = 8/2 · (2·2 + 7·4)
= 4 · (4 + 28) = 4 · 32
S₈ = 128 ✓
Erst die Klammer ausrechnen, dann mit n/2 = 4 multiplizieren.
Schwer
Gaußsche Summe: 1 + 2 + … + 100
a₁ = 1, d = 1, n = 100
S₁₀₀ = 100/2 · (1 + 100)
= 50 · 101
S₁₀₀ = 5050 ✓
Die berühmte Gaußsche Summe — Paarbildung erstes + letztes Glied.
Fallen
Typische Fehler — und wie du sie vermeidest
Diese Stolperfallen tauchen in fast jeder Klassenarbeit auf.
(n−1) mit n verwechselt
Beim n-ten Glied wird (n−1)·d addiert, nicht n·d. Das erste Glied (n=1) bekommt null Schritte: a₁ = a₁ + 0·d.
Differenz falsch herum berechnet
d = a₂ − a₁, also nachfolgendes minus vorheriges. Bei fallenden Folgen ist d negativ — z. B. 10, 8, 6, … mit d = −2.
Den Faktor n/2 in der Summe vergessen
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d). Wer nur die Klammer rechnet, bekommt das Doppelte (bzw. ein Vielfaches) des Ergebnisses.
Vorzeichenfehler bei negativem d
Bei d = −2 und n = 12 ist (n−1)·d = 11·(−2) = −22 — nicht +22. Schreibe das Minus mit.
Arithmetisch und geometrisch verwechselt
Bei arithmetischen Folgen addierst du d; bei geometrischen multiplizierst du mit einem Quotienten q. Lineares vs. exponentielles Wachstum.
Lernen
Üben mit Plan — drei kurze Tipps
15 Minuten am Stück, nicht 90 am Stück
Drei kurze Einheiten an drei Tagen lassen mehr hängen als eine lange Einheit am Abend vor der Klassenarbeit. Stichwort „Spaced Repetition“.
Erst rechnen, dann Lösung anschauen
Schreibe deinen Rechenweg auf, bevor du den Tipp aufdeckst. Aktives Erinnern ist beim Lernen deutlich effektiver als passives Lesen.
Bei jeder falschen Antwort: warum?
War es (n−1) statt n? Ein Vorzeichen bei negativem d? Das fehlende n/2? Notiere die Ursache — beim nächsten Mal erkennst du den Fehler sofort.
FAQ
Häufige Fragen zum Üben
Glossar
Begriffe in einem Satz
- Arithmetische Folge
- Zahlenfolge mit konstanter Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern.
- Glied aₙ
- Ein einzelner Wert der Folge; das n-te heißt aₙ.
- Erstes Glied a₁
- Der Startwert der Folge.
- Konstante Differenz d
- Der gleichbleibende Schritt zwischen zwei Gliedern: d = a₂ − a₁.
- Partialsumme Sₙ
- Die Summe der ersten n Glieder der Folge.
- Gaußsche Summe
- Die Paarungsidee hinter Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ).
- Bossfrage
- Die letzte und schwierigste Aufgabe eines Übungssets.