Arithmetische Folge berechnen — Schritt für Schritt erklärt
Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge mit konstanter Differenz d zwischen den Gliedern. Mit der Formel aₙ = a₁ + (n−1)·d findest du jedes Glied, mit Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d) die Summe. Rechenbeispiel: a₁ = 3, d = 5, n = 10 → aₙ = 48 und Sₙ = 255. Passt zum Lehrplan Klasse 10.
Kurze Antwort
Bei einer arithmetischen Folge wächst jedes Glied um dieselbe Differenz d. Das n-te Glied ist aₙ = a₁ + (n−1)·d. Für a₁ = 3, d = 5, n = 10 ergibt das 3 + 9·5 = 48. Die Summe der ersten n Glieder ist Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n−1)d) = 255.
Auf einen Blick
| Beispiel | a₁ = 3, d = 5, n = 10 |
|---|---|
| Methode | Formel für n-tes Glied und Summe |
| Formel | aₙ = a₁ + (n−1)·d |
| n-tes Glied | a₁₀ = 48 |
| Summe | S₁₀ = 255 |
| Klassenstufe | Klasse 10 (15–16 Jahre) |
Beispiel: a₁ = 3, d = 5, n = 10
Wir suchen das 10. Glied und die Summe der ersten 10 Glieder der Folge 3, 8, 13, 18, …
Die Schritte zur arithmetischen Folge
Diese Schritte funktionieren für jede arithmetische Folge mit erstem Glied a₁ und Differenz d.
Schritt 1 · Formel
aₙ = a₁ + (n − 1) · dAllgemeine Formel für das n-te Glied.Schritt 2 · Einsetzen
a₁₀ = 3 + (10 − 1) · 5a₁ = 3, d = 5 und n = 10 eingesetzt.Schritt 3 · n-tes Glied
3 + 9 · 5 = 48Das 10. Glied der Folge ist 48.Schritt 4 · Summe
S₁₀ = 10/2 · (2·3 + 9·5)Summenformel mit denselben Werten.Schritt 5 · Probe
5 · 51 = 255(3+48)/2 · 10 = 255 bestätigt das Ergebnis.
Warum die Formeln funktionieren
Weil jedes Glied genau d größer ist als das vorige, sammeln sich vom Start a₁ bis zum n-ten Glied genau (n−1) Schritte an — daher aₙ = a₁ + (n−1)·d. Die Summenformel folgt aus der Gaußschen Idee: Paart man das erste mit dem letzten Glied, das zweite mit dem vorletzten und so weiter, hat jedes Paar dieselbe Summe a₁ + aₙ. Bei n Gliedern gibt es n/2 solcher Paare, also Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) = n/2 · (2a₁ + (n−1)d).