Mittlere Änderungsrate berechnen — Schritt für Schritt erklärt
Die mittlere Änderungsrate sagt dir, wie stark sich ein Funktionswert im Schnitt pro x-Einheit ändert. Sie ist die Steigung der Sekante durch zwei Punkte und folgt der Formel (f(b)−f(a))/(b−a). Rechenbeispiel: von (1, 3) nach (4, 15) ergibt sich 4. Das Thema gehört zum Einstieg in die Analysis, Klasse 10–11.
Kurze Antwort
Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten: (f(b)−f(a))/(b−a). Du teilst die Änderung der y-Werte durch die Änderung der x-Werte. Beispiel: von (1, 3) nach (4, 15) → (15−3)/(4−1) = 12/3 = 4.
Auf einen Blick
| Beispiel | (1, 3) → (4, 15) |
|---|---|
| Methode | Sekantensteigung Δy/Δx |
| Schritte | 3 |
| Ergebnis | 4 |
| Bedeutung | Funktion steigt im Mittel um 4 pro x |
| Klassenstufe | Klasse 10–11 |
Beispiel: (1, 3) → (4, 15)
Wir bilden die y-Differenz und die x-Differenz und teilen die erste durch die zweite.
Die Schritte zur mittleren Änderungsrate
Diese Schritte funktionieren für jedes Punktepaar (a, f(a)) und (b, f(b)) mit a ≠ b.
Schritt 1 · Start
(1, 3) → (4, 15)Notiere die beiden Punkte mit a=1, f(a)=3, b=4, f(b)=15.Schritt 2 · Formel
( f(b) − f(a) ) ÷ ( b − a )Die mittlere Änderungsrate ist die Sekantensteigung Δy/Δx.Schritt 3 · Einsetzen
(15 − 3) ÷ (4 − 1)Setze die vier Werte in die Formel ein.Schritt 4 · Vereinfachen
12 ÷ 3Berechne Δy = 12 und Δx = 3.Schritt 5 · Ergebnis
= 4Die mittlere Änderungsrate beträgt 4.
Warum die Sekantensteigung die Änderungsrate ist
Die Sekante ist die Gerade durch die beiden Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)). Ihre Steigung ist „Höhenunterschied geteilt durch Breite“, also Δy/Δx — genau die durchschnittliche Änderung pro x-Einheit über dem Intervall. Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion im Mittel; ist es negativ, fällt sie. Lässt man b immer näher an a rücken, geht die Sekante in die Tangente über und die mittlere Rate wird zur momentanen Änderungsrate — der Ableitung.