Lineare Gleichungen — Aufgaben mit Lösungsweg

Kurze Antwort

Wie übe ich lineare Gleichungen am besten?

Rechne mindestens fünf Aufgaben in steigender Schwierigkeit, beginne mit einer Form ax + b = c, gehe dann zu Klammeraufgaben wie 3(x − 2) = 15 und schließe mit einer Aufgabe mit Variable auf beiden Seiten ab. Schreibe jeden Umformungsschritt am Rand mit (z. B. „| − 7"), mache anschließend immer die Probe, und nutze einen Tipp lieber einmal mehr — Verstehen schlägt schnelles Raten.

HowTo

Lösungsstrategie in 4 Schritten

Diese Reihenfolge funktioniert für jede lineare Gleichung — ax + b = c, mit Klammern, oder mit x auf beiden Seiten.

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Schritt 1 von 4
Gleichung lesen und Form erkennen
Ist es schon die Normalform ax + b = c? Oder stehen Klammern, Brüche oder x auf beiden Seiten? Diese Diagnose entscheidet, ob du sofort umformen kannst oder erst aufräumen musst.
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Schritt 2 von 4
Aufräumen: Klammern auflösen, x-Terme zusammenfassen
Klammern mit dem Distributivgesetz: 3(x − 2) wird zu 3x − 6. Bei x auf beiden Seiten: bringe alle x-Terme auf eine Seite (z. B. „− 2x" auf beiden Seiten). Erst danach hast du die Form ax + b = c.
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Schritt 3 von 4
Konstante isolieren: subtrahieren oder addieren
Bei 3x + 7 = 22 ziehst du 7 auf beiden Seiten ab → 3x = 15. Schreibe „| − 7" an den Rand, damit du den Schritt nachvollziehen kannst.
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Schritt 4 von 4
Durch den Koeffizienten teilen, dann Probe
Teile beide Seiten durch a (im Beispiel: 3). x = 5. Setze diesen Wert in die ursprüngliche Gleichung ein — beide Seiten müssen denselben Wert ergeben. Erst dann ist die Aufgabe wirklich gelöst.

Beispiele

Übungsbeispiele mit ausführlichem Rechenweg

Vier typische Aufgabentypen aus Klassenarbeiten der Klasse 7. Versuche jede zuerst selbst, dann vergleiche mit dem Lösungsweg.

Leicht

Löse: 2x + 3 = 11

2x + 3 = 11 | − 3

2x = 8 | ÷ 2

x = 4

Probe: 2 · 4 + 3 = 8 + 3 = 11 ✓

Klassische Form ax + b = c. Erst die Konstante wegschälen, dann teilen.

Leicht

Löse: 5x − 7 = 18

5x − 7 = 18 | + 7

5x = 25 | ÷ 5

x = 5

Probe: 5 · 5 − 7 = 25 − 7 = 18 ✓

Genauso wie oben, nur mit Minus statt Plus. Vorzeichen aufpassen: aus „− 7" wird „+ 7" auf der anderen Seite.

Mittel

Löse: 3(x − 2) = 15

3(x − 2) = 15 | Klammer auflösen

3x − 6 = 15 | + 6

3x = 21 | ÷ 3

x = 7

Probe: 3 · (7 − 2) = 3 · 5 = 15 ✓

Erst Klammer auflösen mit dem Distributivgesetz. Schneller geht es mit „| ÷ 3" direkt: x − 2 = 5 → x = 7.

Schwer

Boss: 4x + 9 = 2x + 21

4x + 9 = 2x + 21 | − 2x

2x + 9 = 21 | − 9

2x = 12 | ÷ 2

x = 6

Probe: 4 · 6 + 9 = 24 + 9 = 33; 2 · 6 + 21 = 12 + 21 = 33 ✓

Variable auf beiden Seiten — bringe zuerst alle x-Terme auf eine Seite (hier links), erst dann läuft die Standard-Routine.

Fallen

Typische Fehler — und wie du sie vermeidest

Diese fünf Stolperfallen tauchen in fast jeder Klassenarbeit auf.

Vorzeichen vergessen beim Umformen

Wenn du „+ 7" auf die andere Seite bringst, wird daraus „− 7" — nicht „+ 7". Schreibe „| − 7" am Rand und du wirst es nicht vergessen.

Klammer übersehen oder falsch aufgelöst

Bei 3(x − 2) gilt das Minus auch für die 3 mal die 2. Es wird 3x − 6, nicht 3x − 2. Und bei −(x + 4) drehen sich beide Vorzeichen: −x − 4.

Probe nicht in die Ursprungsgleichung einsetzen

Setze x in die Original-Aufgabe ein, nicht in einen umgeformten Zwischenstand — sonst übersiehst du Rechenfehler aus den frühen Schritten.

Beim Teilen durch eine negative Zahl Vorzeichen ignoriert

Bei Gleichungen ändert sich nichts. Achtung: das ist anders bei Ungleichungen — dort dreht sich das Vergleichszeichen um.

Brüche oder Dezimalzahlen scheuen

Bei 0,5x + 1,5 = 4 ist die Methode dieselbe wie mit ganzen Zahlen. Wer will, multipliziert die ganze Gleichung mit 2 und arbeitet mit ganzen Zahlen weiter.

Lernen

Üben mit Plan — drei kurze Tipps

15 Minuten am Stück, nicht 90 am Stück

Drei kurze Übungseinheiten an drei Tagen lassen mehr hängen bleiben als eine lange Einheit am Tag vor der Klassenarbeit. Die Zauberformel heißt „Spaced Repetition".

Erst rechnen, dann Lösung anschauen

Auch wenn die Versuchung groß ist: schreibe deinen Rechenweg auf, bevor du den Tipp aufdeckst. Aktives Erinnern ist beim Lernen drei- bis viermal effektiver als passives Lesen.

Bei jeder falschen Antwort: warum?

War es ein Vorzeichenfehler? Ein vergessener Schritt? Eine Klammer? Notiere die Ursache — und beim nächsten Üben wirst du den Fehler sofort wiedererkennen.

FAQ

Häufige Fragen zum Üben

Wie viele Übungsaufgaben braucht man, um lineare Gleichungen sicher zu beherrschen?

Als Faustregel: 5 bis 10 Aufgaben pro Sitzung, drei Sitzungen vor einer Klassenarbeit, an drei verschiedenen Tagen verteilt. Das sind etwa 15 bis 30 selbst gerechnete Aufgaben — genug, um die Standardformen sicher zu erkennen, ohne zu ermüden.

Was tue ich, wenn ich bei einer Aufgabe gar nicht weiterkomme?

Was ist die Bossfrage?

Welche Form von Gleichungen kommen in dem Übungsset vor?

In welcher Klassenstufe wird das geprüft?

Brauche ich einen Account oder kostet das Üben etwas?

Glossar

Begriffe in einem Satz

Lineare Gleichung: Gleichung der Form ax + b = c mit a ≠ 0; die Variable x kommt nur in erster Potenz vor.
Koeffizient: Die Zahl vor der Variablen — in 3x ist 3 der Koeffizient.
Konstante: Eine Zahl ohne Variable — in 3x + 7 ist 7 die Konstante.
Äquivalenzumformung: Eine Umformung (z. B. „auf beiden Seiten 7 abziehen"), die die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändert.
Distributivgesetz: Die Regel a(b + c) = ab + ac — Grundlage für das Auflösen von Klammern.
Probe: Das Einsetzen der berechneten Lösung in die Ausgangsgleichung zur Kontrolle.
Bossfrage: Die letzte und schwierigste Aufgabe eines Übungssets, die mehrere Schritte oder Aufgabentypen kombiniert.

Weiter

Lineare Gleichungen — Aufgaben mit Lösungsweg

Löse nach x.

Lösungsstrategie in 4 Schritten

Gleichung lesen und Form erkennen

Aufräumen: Klammern auflösen, x-Terme zusammenfassen

Konstante isolieren: subtrahieren oder addieren

Durch den Koeffizienten teilen, dann Probe